Определение 1. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Определение 2. Функцией распределения вероятностей случайной величины называют функцию , определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее , то есть
.
Понятие функции распределения вводится как для непрерывной случайной величины, так и для дискретной случайной величины.
Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку :
.
2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть если , то
.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке
, равна приращению функции распределения на этом промежутке:
.
4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное
|
|
значение , равна нулю:
.
5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то
при ;
при .
6. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси
, то справедливы следующие предельные соотношения:
.
Для непрерывной случайной величины вводится понятие плотности распределения вероятностей.
Определение 3. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:
.
Часто вместо термина «плотность распределения вероятностей» используют термин «плотность вероятностей» или «дифференциальная функция».
Свойства плотности распределения:
1. Плотность вероятностей неотрицательна в любой точке оси :
при .
2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу , определяется равенством:
.
3. Зная плотность вероятностей, можно найти функцию распределения:
.
4. Несобственный интеграл от плотности вероятностей в пределах от до равен
единице (условие нормировки):
.
5. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то
.
Определение 4. Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством
,
где – плотность вероятностей случайной величины .
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то
.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
|
|
.
2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.
4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
.
Определение 5. Дисперсия непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством:
.
Как и в случае с дискретной случайной величиной, справедлива теорема:
.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то
или
.
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:
.
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
.
4. Дисперсия произведения независимых случайных величин, математические ожидания которых равны нулю, равна произведению дисперсий сомножителей:
.
5. Дисперсия суммы постоянной и независимой случайной величины равна дисперсии независимой случайной величины:
.
Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :
Требуется найти:
1. график функции распределения ,
2. плотность ,
3. график плотности ,
4. математическое ожидание ,
5. дисперсию ,
6. среднее квадратическое отклонение ,
7. вероятности .
Решение.
1. Построим график функции распределения
2. Так как плотность равна первой производной от функции распределения
,
то найдем производные от каждой из функций, составляющих функцию :
.
Тогда получаем функцию :
Рис. 2. График функции распределения.
3. Построим график плотности
Рис. 3. График плотности .
Заметим, что при и производная не существует.
4. Найдем математическое ожидание непрерывной случайной величины Х:
.
5. Чтобы найти дисперсию непрерывной случайной величины , найдём математическое ожидание случайной величины :
.
Дисперсию найдем по формуле:
.
6. Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле:
.
7. Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала , то есть :
,
Вторую вероятность найдём по формуле
:
.
Так как события и противоположные, то вероятность события находится по формуле:
.