3. Одноэлементное множество имеет два подмножества - сaмo себя и Æ, т.е. не имеет собственных подмножеств.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Отметим, что часть примеров, приведенных ниже, разработаны авторами, а часть взята из литературы, приведенной в списке.
Пример 1.1. Задано множество А = { a, b, c, d }. Какие из следующих высказываний являются истинными?
а) a ÎA; в) d ÎA;
б) { a, b }ÎA; г) { a, b, c, d }ÎA.
Ответ: Высказывания a ÎA и d ÎA являются истинными, т.к. среди элементов множества А есть элементы a и d, высказывания { a, b }ÎA и { a, b, c, d }ÎA являются ложными, т.к. такие элементы не входят в множество А.
Пример 1.2. Перечислите элементы множеств:
а) A = { x | ($ y)(y Î{0, 1, 2} & x = y 3)};
б) B = { x | x ÎN & ($ y)(y ÎN & x < y)};
в) C = { x | x ÎN & (" y)(y ÎN ® x £ y)}.
Ответ: a) элементы множества А могут быть найдены вычислением третьей степени всех возможных значений y. Таким образом, A = {0, 1, 8}.
б) x и y - элементы множества натуральных чисел N и, каково бы ни было значение х, всегда можно в множестве N найти значение у, при котором будет выполняться условие x < y.
|
|
в) если х и у - элементы множества натуральных чисел N, то условие x £ любого элемента множества N - будет выполняться только для одного значения х, равного 0. Следовательно, С = {0}.
Пример 1.3. Задать множества высказывательным способом:
а) A = {3};
б) P = {6, 7, 8, 9, 10};
в) В - множество четных целых чисел.
Ответ: а) один из возможных вариантов ответа A = { x ÎN | (x + 2 = 5)};
б) Один из возможных вариантов ответа P = { x | x ÎN & (x > 5 & x < 11)};
в) В = { x | x ÎZ & (" y)(y ÎZ ® x = 2 y)}.
Пример 1.4. Определите, равны ли множества А и В, С и D, если A = {1, 2, 3, 4}; B = {4, 3, 2, 1}; C = {2, 3, 4, 5}; D = {3, 4, 5}.
Ответ: А = В, т.к. они содержат одни и те же элементы; С ¹ D, т.к. множество С содержит элемент 2, не принадлежащий множеству D.
Пример 1.5. Пусть: A = {1, 7, 9, 15}; B = {7, 9}; C = {7, 9, 15, 20}.
Все ли следующие утверждения истинны?
а) B Í C, | д) 15ÎC, |
б) B Í A, | е){7, 9}ÎB, |
в) B Ì A, | ж) {7} Ì A, |
г) A Ë C, | з) Æ Í C. |
Ответ: Все утверждения, кроме е), истинны.
Пример 1.6. Доказать, чтоА Í В, если A = { x ÎN | x кратно 8}; B = { x ÎN | x кратно 4};
Доказательство: Пусть х - произвольный элемент множества А. Мы должны показать, что х так же является элементом множества В, т.е. обладает свойством, характерным множеству В. Это означает, что х должно быть кратным 4. Поскольку х является элементом множества А, он обладает характерным свойством этого множества, следовательно, х кратно 8 и можно записать х = 8× m для любого целого m. Это же выражение может быть записано в виде x = 2×4× m или x = 4× k, где k - четное целое число. Следовательно, х всегда кратен 4 и поэтому х ÎВ, что и требовалось доказать.
|
|
Пример 1.7. Доказать, что А = В, если A = { x ÎN | x 2 < 15}; B = { x ÎN | 2 x < 7};
Доказательство: Чтобы доказать, что А = В, необходимо доказать, что А Í В, а затем, что В Í А. Пусть х ÎА, следовательно, х должно обладать характерным свойством множества А, т.е. должен выполняться условия: х 2 < 15 и х ÎN. Этим двум условиям удовлетворяют следующие четыре значения х: 0, 1, 2, 3. Следовательно, только эти числа являются элементами множества А. Причем удвоенные значения любого элемента множества А меньше 7, т.е. каждый из них обладает характерным свойством множества В. Следовательно, А Í В. Теперь докажем, что В Í А. Любой элемент множества В должен быть положительным, а его удвоенное значение меньше 7. Множество В cоставляют следующие элементы: 0, 1, 2, 3. Квадрат любого из них меньше 15, следовательно, В Í А. Таким образом, доказано, что А = В.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое “множество”, “элемент множества”?
2. Какие существуют способы задания множеств? Привести примеры.
3. Приведите определение понятий простого и составного логического высказывания.
4. Перечислите основные операции над логическими высказываниями. Приведите примеры.
5. Что представляет собой квантор существования и квантор общности?
6. Какие множества называются равными?
7. Какие подмножества называются несобственными?
8. В чем отличие между “принадлежностью к множеству” и “включением в множество”?
9. Приведите способы задания множеств.
10. Отличаются ли множества А = Æ и А = {Æ} и если “да”, то в чем состоит отличие.
11. Что такое строгое и нестрогое включение?
12. Как построить семейство подмножеств?
13. Сколько элементов содержит семейство подмножеств?
14. Приведите формулу подсчета числа подмножеств множества.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Задано множество S = {0, 4, 12, 31}. Какие из следующих высказываний являются истинными?
а) 12ÎS; | б) 0+31ÎS; | в) 4+12ÎS; |
г) ÆÎS; | д) {4}ÎS; | е){0,4,12,31}ÎS. |
2. Записать произвольное одноэлементное множество, элементом которого является множество.
3. Привести примеры таких множеств A, B, C и D, что A Î B, B Ï D, D Î C, A Ï D, B Ï C.
4. Задать каждое из множеств с помощью перечисления:
а) A = { x | x Î R & x 2 < 0};
б) B = { x ÎN | 3 < x £ 7};
в) D = { x | x - месяц года, содержащий 30 дней};
г) C = { y | y - факультеты ТРТУ};
д) E = { x ÎN | (" y)(y Î{2, 3, 4, 5} ® x > y)};
e) F = { x | ($ y)($ z)(y Î{1, 2} & z Î{2, 3} & x = y + z)}.
5. Задать множества высказывательным способом:
a) A = {1, 4, 9, 16};
б) B = {2, 3, 5, 7, 11, 17};
в) C = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15};
г) D = {февраль};
д) F = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница}.
6. Запишите таблицы истинности основных операций над высказываниями и поясните их смысл.
7. Определить, равны ли множества А и В:
а) A = { a, b, c }; | B = { b, c, a }; |
б) A = { a, b, { c }}; | B = { b, c, a }; |
в) A = {{ a, b, c }}; | B = { a, b, c }; |
г) A = {{ a, b, c }}; | B = {{ a }, { b }, { c }}; |
д) A = { a, b, c }; | B = {{ a }, { b }, { c }}. |
8. Пусть A = { x Î N | x > 5}; B = {10, 12, 16, 20}; C = { x | ($ y)(y ÎN & x = 2 y)}. Какое из следующих высказываний истинно?
а) B Í C, | ж) B Ì A, |
б) A Í C, | з) 26ÎC, |
в) {11, 12, 13} Í A, | и) {11, 12, 13} Ì C, |
г) {12}ÎB, | к) {12} Í B, |
д) { x ÎN | x < 20} Ë B, | л) 5 Í A, |
е) {Æ} Í B, | м) ÆÏA. |
9. Пусть A = { x ÎR | x 2 - 4 x + 3 = 0}; B = { x ÎN | 1 £ x £ 4}. Доказать, чтоA Ì B.
10. Доказать или опровергнуть, что A = B, если A={ x ÎR | 2 x = 5}; B={ x ÎR | x > 3}.
11. Привести пример множества, имеющего только несобственные подмножества.
12. Выбрать из элементов множества A = { a, x, { b, c }, Æ, 5} несобственные элементы.
13. Записать семейство подмножеств пустого множества.
14. Записать семейство всех подмножеств множества A = { x, y, z, k } и B = {Æ, {Æ}}.
15. Задать множества A, B, C, удовлетворяющие следующим условиям:
а) AÎB, A Í B; б) AÎB, A Í C;
|
|
в) AÎB, A Í B, A Í C; г) AÎB, B Í C;
д) AÎB, A Ì B; е) A Í B, B Í A.