Нечеткие ориентированные графы

Рассмотрим нечеткие ориентированные графы. Они также, как и нечеткие неориентированные графы могут быть двух видов. К первому виду относят графы, имеющие нечеткое множество ребер. Ко второму виду относят графы, имеющие, кроме того, нечеткое множество вершин.

Зададим нечеткий ориентированный граф первого рода  = (X, ). При этом X = { x_i }, i Î I = {1, 2,..., n }, а  = {< m _U< х_i, х_k >/< х_i, х_k >>},< х_i, х_k > Î Х², m _U< х_i, х_k > – степень принадлежности ориентированного ребра < х_i, х_k > нечеткому множеству ориентированных ребер .

Нечеткий ориентированный граф первого рода можно также удобно задавать в виде  = (Х, ), где X = { x_i }, i Î I = {1, 2,..., n }, а  - нечеткое многозначное отображение множества вершин X в себя, т.е. : X → X, задаваемое в виде системы нечетких образов элементов x Î X при этом отображении, т.е. (x_i) = {< m _Г (x_j)/ x_j >}, x_j Î Г(x_i), здесь Г(x_i) - четкое множество образов вершины x_i Î X.

Как нечеткий неориентированный, так и ориентированный графы удобно задавать в виде нечетких матриц смежности R _x = || r_ik || _n, где r_ik = m _U(х_i, х_k) для неориентированных графов и m _U< х_i, х_k > для ориентированных графов.

Нечетким ориентированным графом второго вида называется граф  = (, ), где  – множество вершин является нечетким множеством в некотором универсальном множестве А, т.е.  = {< m_x (x)/ x >}, x Î А, | | = n,  – нечеткое множество ориентированных ребер определяется как  = {< m _U< х_i, х_k >/< х_i, х_k >>}, < х_i, х_k > Î X², где X – носитель множества .

Нечеткий ориентированный граф второго вида  = (, ) при необходимости можно однозначно преобразовать в нечеткий ориентированный граф первого вида G' = (X, ') следующим образом. В качестве множества вершин X принимается носитель множества , а нечеткое множество ориентированных ребер ' принимает вид: ' = {< m _U'< х_i, х_k >/< х_i, х_k >>}, < х_i, х_k > Î X², где функция m _U'< х_i, х_k > = m _U< х_i, х_k > & m _X(х_i) & m _X(х_k), в минимаксном базисе – m _U'< х_i, х_k > = min(m _U< х_i, х_k >, m _X(х_i), m _X(х_k)), и в вероятностном базисе – m _U'< х_i, х_k > = m _U< х_i, х_k > ´ m _X(х_i) ´ m _X(х_k). Графы  и G' будем называть сопряженными.

Каждому ориентированному нечеткому графу второго вида соответствует единственный ориентированный нечеткий граф первого вида, в то же время каждому ориентированному нечеткому графу первого вида соответствует бесконечно много нечетких графов второго вида.

Аналогичные преобразования можно выполнить и для преобразования нечеткого неориентированного графа второго вида к нечеткому неориентированному графу первого вида.