Линейно деформируемого полупространства

(задача Буссинеска, 1885 г.)

Пусть в точке О на горизонтальной плоскости, являющейся поверхностью линейно деформируемого полупространства, простирающегося в бесконечность ниже этой плоскости, приложена вертикальная сосредоточенная сила N. Определим напряжения от действия этой силы в произвольной точке М, положение которой определяется координатами R и b в радиальной системе координат и координатами z и r – в декартовой (рис. 3.3, а). Начало координат расположено в точке О. Будем считать, что в точке М действует напряжение s_R, направленное по радиусу к точке О.

Принято, что напряжение s_R прямо пропорционально углу b и обратно пропорционально квадрату радиуса:

, (3.5)

где B – некоторый коэффициент, определяемый из условия равновесия.

Для определения неизвестного коэффициента B составим сумму проекций на ось z всех сил, действующих на полушаровую поверхность радиусом R, без учета собственного веса грунта и приравняем ее нулю:

, (3.6)

где dА – площадь поверхности элементарного шарового пояса, полученного при изменении угла b на величину db (рис. 3.3, б).

dА = 2p(R×sinb)×(R×db). (3.7)

Рис. 3.3. Схема действия сосредоточенной силы на поверхности

линейно-деформируемого полупространства:

а – положение точки М в полупространстве; б – геометрические построения; в - элементарная треугольная призма

Проинтегрировав выражение (3.6), получим значение коэффициента

. (3.8)

Отсюда найдем выражение для напряжения

. (3.9)

Напряжение s_R действует на площадку площадью dF, перпендикулярную радиусу. Чтобы найти напряжения, действующие на площадке, параллельной ограничивающей плоскости, и от радиальных координат перейти к декартовым, рассмотрим равновесие элементарной треугольной призмы (рис. 3.3, в). Составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось:

. (3.10)

Отсюда или с учетом (3.9)

. (3.11)

Так как , можно записать

. (3.12)

Составив уравнения проекций на оси Х и У, аналогично можно записать

, (3.13)

. (3.14)

Получено также выражение для перемещений ограничивающей поверхности

. (3.15)

Здесь – коэффициент линейно деформирмируемого полупространства, Е – модуль деформации, ν – коэффициент Пуассона.

Учитывая, что , вынесем z из-под корня и выразим s_z в декартовых координатах:

. (3.16)

Обозначив

получим для s_z более простое выражение:

. (3.17)

Аналогично можно найти выражения и для других составляющих тензора напряжений. Для коэффициента К составлены таблицы, что облегчает пользование формулой (3.17). Значения коэффициента К приведены в табл. 3.1

Таблица 3.1

Значения коэффициента К

r/z	K	r/z	K	r/z	K
0,00	0,4775	0,90	0,1083	2,30	0,0048
0,05	0,4746	1,00	0,0844	2,40	0,0040
0,10	0,4657	1,10	0,0658	2,.50	0,0034
0,16	0,4482	1,20	0,0513	2,60	0,0029
0,20	0,4329	1,40	0,0317	2,80	0,0021
0,30	0,3849	1,50	0,0251	3,10	0,0013
0,40	0,3294	1,60	0,0200	3,30	0,0090
0,50	0,2733	1,70	0,0160	3,50	0,0007
0,60	0,2214	1,90	0,0105	4,00	0,0004
0,70	0,1762	2,00	0,0085	4,50	0,0002
0.80	0,1386	2,10	0,0070	5,00	0,0001

Проанализируем распределение напряжений s_z в полупространстве. Для этого построим эпюры распределения s_z в зависимости от координат z и r (рис. 3.4). Из рис. 3.4, а видно, что при z = 0 напряжение s_z стремится к бесконечности, а при z ® ¥ напряжение s_z стремится к нулю. Так как бесконечно больших напряжений в грунте быть не может, некоторую область, заштрихованную на рис. 3.4, следует исключить из рассмотрения. Напряжения в точке приложения сосредоточенной силы не могут быть описаны уравнениями Буссинеска.

Рассмотрев распределение напряжений s_z в плоскости, находящейся на глубине z от поверхности, увидим, что на линии действия силы при r = 0 напряжение s_z имеет максимальное значение, а при r ® ¥ напряжение s_z стремится к нулю. Если соединить точки, в которых напряжения одинаковы, получим линий равных сжимающих напряжений (изобары), которые в случае действия одиночной вертикальной силы имеют форму луковицы (рис. 3.4, б).

а) б)

Рис. 3.4. Эпюры распределения сжимающих напряжений s_z (а) и линий равных напряжений (б) в полупространстве при действии сосредоточенной силы

Если на поверхности полупространства действует несколько сосредоточенных сил (рис. 3.5), то напряжения в любой точке можно определить как сумму напряжений от отдельных сил, используя принцип суперпозиции:

. (3.18)

Коэффициенты K_i определяются по таблице 3.1 в зависимости от соотношений r_i/z для каждой силы.

Пример 3.1

В точке О на поверхности линейно деформируемого полупространства приложена сила N = 35 кН. Построить эпюры напряжений s_z в горизонтальной плоскости на глубине z = 2,5 м от поверхности полупространства и в вертикальной плоскости на расстоянии r = 2,5 м от линии действия силы.

Рис. 3.5. Схема действия нескольких сосредоточенных сил

Для построения эпюры напряжений в горизонтальной плоскости, заглубленной от поверхности полупространства на величину z = 2,5 м, сделаем расчеты в табличной форме (табл. 3.2).

Эпюра распределения напряжений в горизонтальной плоскости представлена на рис. 3.6, а.

Таблица 3.2

Значения напряжения s_z в горизонтальной плоскости при z = 2,5 м

r, м	z, м	r /z	K	N/z², кН/м²	s_z, кПа
0	2,5	0	0,4775	5,6	2,67
1	2,5	0,4	0,3294	5,6	1,84
2	2,5	0,8	0,1386	5,6	0,78
3	2,5	1,2	0,0513	5,6	0,29
4	2,5	1,6	0,0200	5,6	0,11
5	2,5	2,0	0,0085	5,6	0,048
6	2,5	2,4	0,0040	5,6	0,022

Для построения эпюры напряжений в вертикальной плоскости на расстоянии r = 2,5 м от линии действия силы расчеты приведем в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Значения напряжения s_z в горизонтальной плоскости при z = 2,5 м

r, м	z, м	r /z	K	N/z², кН/м²	s_z, кПа
2,5	0	∞	0	∞	0
2,5	1	2,500	0,0034	35,000	0,119
2,5	2	1,250	0,0540	8,750	0,473
2,5	3	0,830	0,1295	3,889	0,504
2,5	4	0,625	0,2101	2,188	0,460
2,5	5	0,500	0,2733	1,400	0,383
2,5	6	0,417	0,2780	0,972	0,270

Эпюра распределения напряжений в вертикальной плоскости представлена на рис. 3.6, б.

а) б)

Рис. 3.6. Эпюры распределения напряжений s_z к примеру 3.1:

а - в горизонтальной плоскости; б - в вертикальной плоскости

Пример 3.2

К горизонтальной поверхности массива грунта в одном створе приложены три вертикальные сосредоточенные силы N ₁= 1200 кН, N ₂= 800 кН, N ₃ = 1400 кН (рис. 3.7). Определить величину вертикального напряжения s_z от совместного действия сосредоточенных сил в точке М, находящейся на глубине z = 2 м. Расстояния от точки М до осей действия сил: r₁ = 1 м, r₂ = 2 м, r₃ = 4,4 м.

Определим для каждой силы соотношения r/z и соответствующие им коэффициенты К по табл. 3.1: для силы N ₁ отношение r₁/z = 1/2 = 0,5; К₁ = 0,2733; для силы N ₂ - r₂/z = 2/2 = 1; К₂ = 0,0844; для силы N ₃ - r₃/z = 4,4/2 = 2,2; К₃ = 0,0059.