Распределенной полосовой нагрузки

 (задачи Фламана, 1892 г., и Митчела, 1902 г.)

Условия плоской задачи имеют место тогда, когда напряжения распределяются в одной плоскости, а в перпендикулярном направлении они или равны нулю, или постоянны. Это характерно для протяженных сооружений, когда    l/b ³ 10. Для таких сооружений в любом месте, за исключением краевых участков, распределение напряжений в любом поперечном сечении будет таким же, как и в других соседних, если нагрузка в направлении, перпендикулярном рассматриваемому сечению, не будет меняться. Такие сооружения обычно не рассматривают по всей длине, а вырезают из них участки единичной длины (l = 1), для которых и определяют напряжения.

  В поперечном сечении действуют напряжения s_z, s_y и t_yz. Напряжения в продольном направлении t_xy = t_xz равнынулю, а s_x является функцией напряжений s_z и s_y. Рассматриваемые сечения остаются плоскими в процессе деформации (плоская деформация - ε_х = 0).

 Пусть на поверхности линейно деформируемого полупространства действует равномерная нагрузка, распределенная по полосе шириной b (рис. 3.11). Рассмотрим напряженное состояние в точке М.  

 

             Рис. 3.11. Действие равномерно распределенной нагрузки

                             в условиях плоской задачи

 

Обозначим буквой a угол видимости, b = a/2 + b¢ (где b¢ – угол, составляемый крайним лучом с вертикалью). Выражения для составляющих напряжений s_z, s_y и t_yz можно получить, используя решение Фламана о действии линейной нагрузки на поверхности полупространства в условиях плоской деформации. Для этого необходимо проинтегрировать выражения для напряжений от действия элементарных сил (pdy ×1). Тогда для составляющих напряжений будут справедливы следующие выражения:

           ;

           ;                                              (3.24)

           .

      Это решение было получено Митчелом, развившим решение Фламана. Оно содержит полярные координаты точки М, что не слишком удобно для практических расчетов. Для этой задачи В.Г. Колосовым получены выражения для определения компонент напряжений в декартовой системе координат [7]:

,

 ,           (3.25)

.

   Так как напряжения не зависят от деформационных характеристик среды, можно составить таблицу для определения коэффициентов влияния и представить выражения для составляющих напряжений в более простом виде:

 s_z  =   K_z×p;

 s_y = K_y×p;                                                                 (3.26)

  t_yz = K_yz×p.

   Значения коэффициентов влияния K_z, K_y и K_yz определяются в зависимости от относительных координат z/b и y/b, где b=2а – ширина полосы загружения. Значения коэффициентов K_z, K_y и K_yz приведены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Значения коэффициентов влияния K_z, K_y и K_yz

z/b	Значения   y/b
	0			0,25			0,50
	Kz	Ky	Kyz	Kz	Ky	Kyz	Kz	Ky	Kyz
0.00	1.00	1.00	0	1.00	1.00	0	0.50	0.50	0.32
0.25	0.96	0.45	0	0.90	0.39	0.13	0.50	0.35	0.30
0.50	0.82	0.18	0	0.74	0.19	0.16	0.48	0.23	0.26
0.75	0.67	0.08	0	0.61	0.10	0.13	0.45	0.14	0.20
1.00	0.55	0.04	0	0.51	0.05	0.10	0.41	0.09	0.16
1.50	0.40	0.01	0	0.38	0.02	0.06	0.33	0.040	0.10
2.00	0.31	-	0	0.31	-	0.03	0.28	0.02	0.06
3.00	0.21	-	0	0.21	-	0.02	0.20	0.01	0.03
5.00	0.13	-	0	0.13	-	-	0.12	-	-

Продолжение табл. 3.5

z/b	Значения y/b
	1,0			1,5			2,0
	Kz	Ky	Kyz	Kz	Ky	Kyz	Kz	Ky	Kyz
0.00	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0.25	0.02	0.17	0.05	0	0.07	0.01	0	0.04	0
0.50	0.08	0.21	0.13	0.02	0.12	0.04	0	0.07	0.02
0.75	0.15	0.22	0.16	0.04	0.14	0.07	0.02	0.10	0.04
1.00	0.19	0.15	0.16	0.07	0.14	0.10	0.03	0.13	0.05
1.50	0.21	0.06	0.11	0.13	0.09	0.10	0.07	0.09	0.08
2.00	0.17	0.02	0.06	0.13	0.03	0.07	0.10	0.04	0.07
3.00	0.14	0.01	0.03	0.12	0.02	0.05	0.10	0.03	0.05
5.00	0.10	-	-	0.10	-	-	-	-	-

 

  Определив напряжения в различных точках, можно построить эпюры напряжений по вертикальным и горизонтальным сечениям при разных значениях z и y (рис. 3.12).

   Пользуясь полученными эпюрами напряжений, можно построить линии равных напряжений (рис. 3.13). Линии одинаковых вертикальных напряжений s_z называются изобарами. Они изображены на рис. 3.13, а. Линии одинаковых горизонтальных напряжений s_у называются распорами и имеют вид, показанный на рис. 3.13, б. Линии одинаковых касательных напряжений t_yz называются сдвигами и представлены на рис. 3.13, в.

 

Рис. 3.12. Эпюры распределения напряжений s_z по вертикальным (а) и

                               горизонтальным (б) сечениям

 

 

Рис. 3.13. Линии равных напряжений в линейно-деформируемом массиве

в случае плоской задачи:

а – изобары; б – распоры; в – сдвиги

        

  Главные напряжения действуют по площадкам, где касательные напряжения равны нулю. Для таких площадок b = 0. Выражения для главных напряжений были получены Митчелом в виде

,

,                                                                        (3.27)

где a –угол видимости полосы загружения в радианах.

     Направление действия большего главного напряжения s₁ совпадает с биссектрисой угла видимости.

Пример 3.4

Пусть имеется равномерная нагрузка интенсивностью р = 100 кПа, распределенная по полосе шириной b = 2 м. Определить напряжения s_z, s_y и t_yz, а

также главные напряжения s₁ и s₂  в точке М с координатами z = 1м, y = 1 м.

Расчетная схема к примеру 3.4 представлена на рис. 3.14.

     

Рис. 3.14. Схема к примеру 3.4

 

  Определим соотношения z/b = 1/2 = 0,5и y/b = 1/2 = 0,5. По табл. 3.5 найдем значения коэффициентов K_z = 0,48; K_y = 0,23; K_yz = 0,26. Тогда составляющие напряжений в точке М рассчитаем по формуле (3.25):

s_z  = K_z×p = 0,48·100 = 48 кПа;

                                  s_y = K_y×p = 23 кПа;

                                   t_yz = K_yz×p = 26 кПа.

Для определения главных напряжений в точке М нужно рассчитать значение угла видимости a. Для нашего примера tga = 2/1 = 2, а угол a = 63,5⁰ = 1,1 рад (рис. 3.14). При этом sina = 0,8936. Главные напряжения в точке М определим по формуле (3.24):

 = 100(1,1 + 0,8936)/3,14 = 63,5 кПа;

 = 6,57 кПа.