Определение напряжений методом угловых точек

Для определения напряжений в точках, не лежащих на оси симметрии площади загружения, используется метод угловых точек, предложенный в 1932 г. Д.Е. Польшиным. Он показал, что для любого равномерно загруженного прямоугольника угловое вертикальное напряжение на глубине 2 z равно одной четверти осевого вертикального напряжения на глубине z.

Для определения связи между осевыми и угловыми напряжениями представим, что прямоугольная площадь загружения разделена на четыре равных прямоугольника, стороны которых в два раза меньше соответствующих сторон основного прямоугольника (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Схема к определению напряжений в грунте методом угловых точек

Проведем через точку О, взятую в центре большого прямоугольника, осевую вертикальную линию. Она будет также проходить через угловые точки О всех четырех малых прямоугольников. Если на этой вертикали взять на глубине z точку М₀, то осевое напряжение в ней от нагрузки, приложенной по площади большого прямоугольника, будет равно сумме угловых напряжений от нагрузки по площади четырех малых прямоугольников. Таким образом, угловое напряжение для каждого малого прямоугольника будет равно 1/4 величины осевого давления, возникающего на той же глубине от нагрузки по всей площади большого прямоугольника.

Проведем через какую-либо угловую точку большого прямоугольника вертикальную линию и отметим на ней точку М, лежащую на глубине 2 z. Отношение этой глубины к ширине большого прямоугольника b будет равно отношению глубины z до точки М₀ к ширине малого прямоугольника b /2. Так как относительная глубина точек М и М₀ для большого и малого прямоугольников одинакова, то и угловые напряжения в тех же точках будут равны между собой.

Следовательно, при нахождении напряжения s_z под угловыми точками прямоугольной площади загружения значения коэффициента a можно принимать по табл. 3.4 в зависимости от h и x. В этом случае . Напряжения под угловыми точками определяют по формуле

s_z= 0,25a×р. (3.21)

Метод угловых точек позволяет определять вертикальные напряжения s_z в любой точке полупространства при условии, что площадки являются прямоугольными, а нагрузки на них – равномерно распределенными. Для этого точку, в которой необходимо определить напряжение, с помощью дополнительных построений следует сделать угловой.

Если проекция рассматриваемой точки М’ находится в пределах загруженной площади (точка М), то эта площадь разделяется на четыре прямоугольника, для каждого из которых точка М является угловой (рис. 3.10, а). Образуются прямоугольники: I – afMe, II – e Mkd, III – fbhM, IV – Mhck. Тогда напряжения s_z найдем суммированием напряжений под угловыми точками четырех площадей загружения:

s_z = s_zI + s_zII + s_zIII +s_zIV = 0,25p(a_I + a_II + a_III + a_IV), (3.22)

где a_I, a_II, a_III, a_IV – коэффициенты, принимаемые по таблицам в зависи- мости от соотношения сторон площадей загружения I, II, III, IV и отношения z (глубины расположения точки М’) к ширине каждой из этих площадей.

Рис. 3.10. Схемы разбивки прямоугольной площади загружения при

определении напряжений методом угловых точек

а – точка М находится в пределах загруженной площади; б – точка М находится вне загруженной площади

Когда проекция рассматриваемой точки М΄ находится вне пределов загруженной площади, точку М можно представить как угловую для четырех фиктивных прямоугольников (рис. 3.10, б): I – afMe, II – e Mkd, III – bfMh, IV – hMkc. При этом в пределах площадей III и IV нагрузку учитываем с отрицательным знаком. Тогда напряжения s_z найдем из выражения

s_z = s_zI + s_zII - s_zIII -s_zIV = 0,25p(a_I + a_II - a_III - a_IV). (3.23)

Таким образом, пользуясь методом угловых точек, можно найти напряжение s_z в любой точке полупространства, к поверхности которого приложена равномерно распределенная по прямоугольной площадке нагрузка.

Пример 3.3

Определить напряжение в точке М на глубине z = 2,4 м, лежащей за пределами загруженной площади abcd. Размеры прямоугольной площади загружения: l = ab = cd = 4 м; b = ad = bc = 3 м. Расстояние точки М от грани ab – 1 м, от грани bc – 1 м. Интенсивность равномерной нагрузки р = 100 кПа.

Проведем построения, соответствующие рис. 3.10, б. Получим фиктивные прямоугольники: I (afMe) с размерами l_I = 5 м, b_I = 1 м; II (e Mkd) с размерами l_II =5 м, b_II = 2 м; III (bfMh) с размерами l_III = 1м, b_III = 1 м; IV (hMkc) с размерами l_IV = 2 м, b_IV = 1 м. Соотношение сторон в прямоугольнике I η_I = l_I /b_I =

= 5/1 = 5, коэффициент ξ_I = z/b_I = 2,4/1 = 2,4. В прямоугольнике II η_II = 5/2 = 2,5, ξ_II = 2,4/2 = 1,2; в прямоугольнике III η_III = 1/1 = 1, ξ_III = 2,4/1 = 2,4; в прямоугольнике IV η_IV = 2/1 = 2, ξ_IV = 2,4/1 = 2,4. Определим по табл. 3.4 значения коэффициентов a для соответствующих прямоугольников: a_I = 0,470; a_II = 0,741; a_III = 0,257; a_IV = 0,392. Тогда по формуле (3.23) мы можем найти значение напряжения s_z в точке М: