Интегрирование функций

 

Совокупность всех первообразных для функции  или для дифференциала  называется неопределенным интегралом и обозначается:

 

                                                ,                                              (1)

 

где - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1.

2. ,  где с-число.

Таблица интегралов (первообразных):

                         

Элементарные функции:		Сложные функции:
1.		1.
2.		2.
3.	, где n ≠ -1	3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
8.		8.
9.		9.
10.		10.
11.		11.
12.		12.
13.		13.
14.		14.

 

Пример 1: Вычислите интеграл: .

Решение: По правилу  получим . По формуле (6) получим

.

 

Пример 2: Вычислите интеграл: .

Решение: По формуле (15) получим

Пример 3: Вычислите интеграл: .

Решение: Распишем дробь на два слагаемых . По правилу  получим

.

По свойству степеней , получаем . По формулам (3, 4), получим .

Пример 4: Вычислите интеграл: .

Решение: Выполним замену, получим:

Здесь использовали формулу

Вычисление определенных интегралов непосредственно.

Пример 5.

Пример 6.

Вычисление площади фигуры

Определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции (рисунок 9), ограниченной снизу – осью OX, сверху кривой y=f(x), слева и справа – прямыми x=a, x=b.

 

Пример 7: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2x+4, y=0, x=1, x=-1

Таблица 9 – Точки прямой

X	0	-2
y	4	0

 

Решение: y=2x+4 – прямая. Для построения прямой необходимо найти две точки (таблица 9).

 

 

 

        

 

 

    а)                         б)            

 

 

в)

Рисунок 9 – Графики функций

 

                                     

 

y=0 – ось OX, x=1, x= -1 – прямые параллельные OY. Строим все линии на рисунке 10.

 

 

Рисунок 10 – график функции

 

Пример 8: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x², y=2x

Решение: y=x² – парабола, ветви вверх.

Для построения параболы необходимо найти точки (таблица 10).

 

X	-2	-1	0	2	1
y	4	1	0	4	1

 

Таблица 10 – Точки параболы

 

y=2x – прямая.

Для построения прямой необходимо найти две точки (таблица 11).

 

X	0	2
y	0	4

 

Таблица 11 – Точки прямой

 

Найдем a и b: x²=2x, x²-2x=0, x(x-2)=0, x=0, x=2; следовательно a=0, b=2. Построим графики функций на рисунке 11.

 

 

Рисунок 11 – График функции

 

, ,  

 

Ответ.

Раздел 3. Задания для контрольной работы.

Задание1: Вычислить производную функций.

 

Вариант № 1, 11.

1. , 2. , 3. , 4.

5. , 6. , 7.

Вариант № 2, 12.

1. , 2. , 3. , 4.

5. , 6. , 7.

Вариант № 3, 13.

1. , 2. , 3. ,

4. , 5. , 6. , 7.

Вариант № 4, 14.

1. , 2. , 3.

4. , 5. , 6. , 7.

Вариант № 5, 15.

1. , 2. , 3.

4. , 5. , 6. , 7.

Вариант № 6, 16.

1. , 2. , 3.

4. , 5. , 6. , 7.

Вариант № 7, 17.

1. , 2. , 3.

4. , 5. , 6. , 7.

Вариант № 8, 18.

1. , 2. , 3.

4. , 5. , 6. , 7.

Вариант № 9, 19.

1. , 2. , 3.

4. , 5. , 6. , 7.

Вариант № 10, 20.

1. , 2. ,.

4. , 5. , 6. , 7.

Задание 2. Дан закон движения точки: . Найти: 1) формулы скорости и ускорения; 2) значения скорости и ускорения в момент времени .

1 вариант.

2 вариант.

3 вариант.

4 вариант.

5 вариант.

6 вариант.

7 вариант.

8 вариант.

9 вариант.

10 вариант.

11 вариант.

12 вариант.

13 вариант.

14 вариант.

15 вариант.

16 вариант.

17 вариант.

18 вариант.

19 вариант.

20 вариант.

Задание 3. Исследовать функцию и построить график:

 

1 вариант: ;               

2 вариант:         

3 вариант: ;         

4 вариант:    

5 вариант: ;       

6 вариант: ;          

7 вариант: ;          

8 вариант: ;          

9 вариант: ;        

10 вариант:

11 вариант: ;

12 вариант: ;

13 вариант: ;

14 вариант: ;

15 вариант: ;

16 вариант: ;

17 вариант: ;

18 вариант: ;

19 вариант: ;

20 вариант: .