2020-04-07
97
Совокупность всех первообразных для функции 
или для дифференциала 
называется неопределенным интегралом и обозначается:
, (1)
где 
- подынтегральная функция; 
- подынтегральное выражение; 
- произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1. 
2. 
, где с-число.
Таблица интегралов (первообразных):
| Элементарные функции: | Сложные функции: | ||
| 1. | 
| 1. | |
| 2. | 
| 2. | 
|
| 3. |  , где n ≠ -1
| 3. | 
|
| 4. | 
| 4. | 
|
| 5. | 
| 5. | 
|
| 6. | 
| 6. | 
|
| 7. | 
| 7. | 
|
| 8. | 
| 8. | 
|
| 9. | 
| 9. | 
|
| 10. | 
| 10. | 
|
| 11. | 
| 11. | 
|
| 12. | 
| 12. | 
|
| 13. | 
| 13. | 
|
| 14. | 
| 14. | 
|
Пример 1: Вычислите интеграл: 
.
Решение: По правилу 
получим 
. По формуле (6) получим 
.
Пример 2: Вычислите интеграл: 
.
Решение: По формуле (15) получим 
Пример 3: Вычислите интеграл: 
.
Решение: Распишем дробь на два слагаемых 
. По правилу 
получим
.
По свойству степеней 
, получаем 
. По формулам (3, 4), получим 
.
Пример 4: Вычислите интеграл: 
.
Решение: Выполним замену, получим:
Здесь использовали формулу 
Вычисление определенных интегралов непосредственно.
Пример 5. 
Пример 6. 
Вычисление площади фигуры
Определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции (рисунок 9), ограниченной снизу – осью OX, сверху кривой y=f(x), слева и справа – прямыми x=a, x=b.
Пример 7: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2x+4, y=0, x=1, x=-1
Таблица 9 – Точки прямой
| X | 0 | -2 |
| y | 4 | 0 |
Решение: y=2x+4 – прямая. Для построения прямой необходимо найти две точки (таблица 9).
а) 
б) 
в) 
Рисунок 9 – Графики функций
y=0 – ось OX, x=1, x= -1 – прямые параллельные OY. Строим все линии на рисунке 10. 
Рисунок 10 – график функции
Пример 8: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2, y=2x
Решение: y=x2 – парабола, ветви вверх.
Для построения параболы необходимо найти точки (таблица 10).
| X | -2 | -1 | 0 | 2 | 1 |
| y | 4 | 1 | 0 | 4 | 1 |
Таблица 10 – Точки параболы
y=2x – прямая.
Для построения прямой необходимо найти две точки (таблица 11).
| X | 0 | 2 |
| y | 0 | 4 |
Таблица 11 – Точки прямой
Найдем a и b: x2=2x, x2-2x=0, x(x-2)=0, x=0, x=2; следовательно a=0, b=2. Построим графики функций на рисунке 11.
Рисунок 11 – График функции
, 
,
Ответ. 
Раздел 3. Задания для контрольной работы.
Задание1: Вычислить производную функций.
Вариант № 1, 11.
1. 
, 2. 
, 3. 
, 4. 
5. 
, 6. 
, 7. 
Вариант № 2, 12.
1. 
, 2. 
, 3. 
, 4. 
5. 
, 6. 
, 7. 
Вариант № 3, 13.
1. 
, 2. 
, 3. 
,
4. 
, 5. 
, 6. 
, 7. 
Вариант № 4, 14.
1. 
, 2. 
, 3. 
4. 
, 5. 
, 6. 
, 7. 
Вариант № 5, 15.
1. 
, 2. 
, 3. 
4. 
, 5. 
, 6. 
, 7. 
Вариант № 6, 16.
1. 
, 2. 
, 3. 
4. 
, 5. 
, 6. 
, 7. 
Вариант № 7, 17.
1. 
, 2. 
, 3. 
4. 
, 5. 
, 6. 
, 7. 
Вариант № 8, 18.
1. 
, 2. 
, 3. 
4. 
, 5. 
, 6. 
, 7. 
Вариант № 9, 19.
1. 
, 2. 
, 3. 
4. 
, 5. 
, 6. 
, 7. 
Вариант № 10, 20.
1. 
, 2. 
,. 
4. 
, 5. 
, 6. 
, 7. 
Задание 2. Дан закон движения точки: 
. Найти: 1) формулы скорости и ускорения; 2) значения скорости и ускорения в момент времени 
.
1 вариант. 
2 вариант. 
3 вариант. 
4 вариант. 
5 вариант. 
6 вариант. 
7 вариант. 
8 вариант. 
9 вариант. 
10 вариант. 
11 вариант. 
12 вариант. 
13 вариант. 
14 вариант. 
15 вариант. 
16 вариант. 
17 вариант. 
18 вариант. 
19 вариант. 
20 вариант. 
Задание 3. Исследовать функцию и построить график:
1 вариант: 
;
2 вариант: 
3 вариант: 
;
4 вариант: 
5 вариант: 
;
6 вариант: 
;
7 вариант: 
;
8 вариант: 
;
9 вариант: 
;
10 вариант: 
11 вариант: 
;
12 вариант: 
;
13 вариант: 
;
14 вариант: 
;
15 вариант: 
;
16 вариант: 
;
17 вариант: 
;
18 вариант: 
;
19 вариант: 
;
20 вариант: 
.
