Исследование функции и построение графиков

Общая схема исследования функции, представляющей многочлен, с помощью производной и построение графика

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

2.1. Найти производную функции.

2.2. Найти критические точки функции.

2.3. Отметить критические точки на числовой прямой и найти знак производной на каждом из получившихся промежутков.

2.4. Найти интервалы монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

2.5. Записать координаты точек графика функции, соответствующих точкам экстремума.

3. Исследовать функцию на выпуклость.

3.1. Найти производную второго порядка.

3.2. Найти критические точки второго рода.

3.3. Отметить критические точки второго на числовой прямой и найти знак второй производной на каждом из получившихся промежутков.

3.4. Найти интервалы выпуклости графика функции вверх и вниз.

3.5. Записать точки перегиба.

4. Построить график функции.

4.1. Отметить в системе координат точки, соответствующие точкам экстремума, и точки перегиба.

4.2. Для более точного построения графика найти дополнительно несколько точек, принадлежащих графику функции.

4.3. Соединив поставленные точки согласно исследованию, изобразить график функции.

Пример.

Исследовать функцию у = х³ – 3х² и построить ее график.

Исследование:

1. Область определения: D(y) = (- ∞; + ∞).

2. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

2.1.   y´ = 3x² - 6x = 3x(x-2)

2.2.  3x(x - 2) = 0

x = 0, x = 2 – критические точки функции

2.3.

0

2

max

min

+

-

+

0

2

max

min

+

-

+

2.4. Функция возрастает на промежутках: (- ∞; 0); (2; + ∞).

       Функция убывает на промежутке: (0; 2)

       Точки экстремума: х_max = 0; x_min = 2.

       Экстремумы функции: f(0) = 0³ – 3∙0² = 0; f(2) = 2³ – 3∙2² = 8 – 12 = - 4

2.5. Точки, соответствующие точкам экстремума: А(0; 0); В(2; - 4).

 

3. Исследуем функцию на выпуклость

3.1.     у´´ = 6х – 6

3.2.    6х – 6 = 0

     х = 1 – критическая точка второго рода

3.3.   

             

1

х

-

+

у´´

3.4.  График функции выпуклый вверх на промежутке: (- ∞; 1)

   График функции выпуклый вниз на промежутке: (1; + ∞)

3.5.  f(1) = 1³ – 3∙1² = 1 – 3 = - 2

Точка перегиба: С(1; - 2)

4. Дополнительные точки:

х = - 1: f(-1) = (-1)³ – 3∙(-1)² = - 1 – 3 = - 4; D (- 1; -4)

х = 3: f(3) = 3³ – 3∙3² = 27 – 27 = 0; E (3; 0)

 

5. Построение графика функции

 

Раздел 2. Основы интегрального исчисления