Математическая постановка задачи

1 2 3 4

Для решения данную задачу разобьем на 4 математических подзадачи:

Оптимизация маршрута с города Конакова до города Королева.

1. Оптимизация маршрута с города Калуга до города Королева.

2. Оптимизация маршрута с города Кольчугина до Королева.

3. Оптимизация маршрута с города Рязановский до города Королева.

Скорость колонны вне дороги V1= 20 км/ч, по дороге V2=40 км/ч, все расстояния показаны на карте.

I.Оптимизация маршрута с города Конаково до города Королева. Оптимизация маршрута стороны А означает выбор такого направления движения φ из т очки ο в точку b (или что тоже самое, выбор координаты Х), при котором общее время, потребное для совершения маршрута до переправы, было бы минимальным. Из рисунка видно, что маршрут включает два линейных пути, а следовательно, и два интервала времени: время t₁ движения вне дороги на расстояние l = ob и время t₂движения по дороги на расстояние y. Таким образом, Т= t₁+ t₂.

Но t₁ = = , а t₂= =

И поэтому целевая функция является нелинейной функцией двух переменных, связанных между собой соотношением вида L=x+y, выступающим в качестве линейного ограничения на переменные х и у. В соответствии с содержанием методом условного экстремума запишем функцию Лагранжа.

Т^*(х, у, λ) = + + λ (L-x-y)

Беря частные производные от Т по х, у и λ и приравнивая их нулю, получим следующую систему алгебраических уравнений:

Решая эту систему относительно х и у, найдем искомые участки оптимального маршрута

Х₀ = , y₀=L- ,

Отметим три возможных варианта маршрута движения от точки О до Е. I_A(o, a, E), II_A (o, b, E) для оптимального φ₀ и III_A (oE). С учетом заданных числовых параметров задачи времена движения по этим маршрутам будут равны

t_A₁= 3.25 ч, t_A₂= 3.14 ч, t_A₃= 5.05 ч

II.Оптимизация маршрута с города Калуга до города Королева. Оптимизация маршрута стороны С означает выбор такого направления движения φ из т очки U в точку P (или что тоже самое, выбор координаты Х), при котором общее время, потребное для совершения маршрута до переправы, было бы минимальным. Из рисунка видно, что маршрут включает два линейных пути, а следовательно, и два интервала времени: время t₁ движения вне дороги на расстояние l = up и время t₂движения по дороги на расстояние y. Таким образом, Т= t₁+ t₂.

Но t₁ = = , а t₂= =

И поэтому Т== +

Целевая функция является нелинейной функцией двух переменных, связанных между собой соотношением вида L1=x1+y1, выступающим в качестве линейного ограничения на переменные х1 и у1. В соответствии с содержанием методом условного экстремума запишем функцию Лагранжа.

Т^*(X1, Y1, λ1) = + + λ1(L1-X1-Y1)

Беря частные производные от Т по х1, у1 и λ1 и приравнивая их нулю, получим следующую систему алгебраических уравнений:

Решая эту систему относительно х1 и у1, найдем искомые участки оптимального маршрута

Х1 = , y₁=L1- ,

Отметим три возможных варианта маршрута движения от точки U до P. I_A(U, C,P), II_A (U, T, P) для оптимального φ₁ и III_A (UP). С учетом заданных числовых параметров задачи времена движения по этим маршрутам будут равны

t_A₄=3.5ч, t_A₅= 3.42, t_A₆= 6.02.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: