Тензор и девиатор напряжений

Силовое воздействие инструмента на заготовку вызывает в ней напряженное состояние.

3.1

В большинстве случаев напряжения, как и деформации, распределяются в теле крайне неравномерно. Для описания напряженного состояния необходимо решить сложную задачу: для любой точки деформируемого тела определить напряжения на любой произвольной площадке. Рассмотрим стержень, нагруженный силами +Р и –Р (рис. 3.1). Условимся, что стержень имеет постоянное сечение и достаточно большую длину. Можно считать, что напряжения распределены равномерно, за исключением областей, непосредственно примыкающих к точкам приложения сил. Если площадь сечения стержня F, то напряжение в любой точке на площадке N₁, нормаль к которой n₁ совпадает по направлению с осью стержня, можно определить как σ = P / F. Возьмем в теле произвольную точку М, проведем через нее плоскость N₂, нормаль которой n₂ расположена под углом φ к оси стержня.

                             (3.1)

Полное напряжение  разложим на составляющие – нормальную σn и касательную τ. Из треугольника МАВ (рис. 3.1) находим

                        (3.2)

Следовательно, напряжения  на любой площадке N, произвольно наклонной к оси стержня, можно найти однозначно, если известны напряжения σ и угол φ, определяющий положение площадки. Поставим задачу в общем виде. Пусть в теле, нагруженном заданной системой нагрузок, в координатных площадках, проведенных через точку М, действуют известные напряжения σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_yz, τ_zx, τ_xz, τ_zy, τ_yx (рис. 3.2). В окрестности точки М проведем плоскость АВС, нормаль к которой n образует с координатными осями x, y, z углы, косинусы которых a_x, a_y, a_z соответственно. Определим напряжение , действующее в площадке АВС.

Из равновесия сил найдем уравнения, определяющие компоненты напряжения и полное напряжение в площадке АВС:

  (3.3)

3.2

Нормальное напряжение σn в площадке АВС можно определить, проектируя на нормаль n:

   (3.4)

Наконец, касательное напряжение τ в площадке АВС можно найти:

.                                      (3.5)

Если заданы напряжения в координатных площадках, проведенных через рассматриваемую точку М, то по уравнениям (3.3) можно однозначно определить напряжение , действующее в любой площадке, положение которой задано направляющими косинусами . Это означает, что для характеристики напряженного состояния в точке М необходимо и достаточно задать девять величин: σ_x, τ_xy, τ_xz,σ_y, τ_yx, τ_yz, σ_z, τ_zx, τ_zy. Таким образом, приходим к следующему выводу.

Напряженное состояние в точке – это физическая величина, для количественной характеристики которой необходимо и достаточно задать девять чисел (напряжения в координатных площадках), которые в совокупности образуют тензор напряжений

.                                (3.6)

Числа σ_x, τ_xy, τ_xz и другие называются компонентами тензора напряжений. Знаки нормальных напряжений σ_x, σ_y, σ_z устанавливаются так: напряжение, растягивающее элемент, считается положительным (например, σ_x, σ_y, σ_z на рис. 3.2) сжимающее – отрицательным.

Компоненты тензора напряжений  могут быть числами или функциями. В первом случае тензор  характеризует напряженное состояние тела в точке, во втором – напряженное состояние тела в целом. Тензор можно разложить на два тензора:

где

(3.7)

Тензор  называется шаровым. Его компоненты  – среднее напряжение:  Тензор  называется девиатором напряжений. Важная особенность девиатора напряжений состоит в том, что его первый инвариант тождественно равен нулю. Величина , пропорциональная второму инварианту девиатора напряжений, называется

(3.8)

интенсивностью напряжений и определяет переход тела в первое предельное состояние.

Главные напряжения.

Возвратимся к рассмотрению рис. 3.1 и формулы (3.2). Если φ=0, то в площадке действует только напряжение σ_n=σ, а касательное τ обращается в нуль. Площадку АВС (рис. 3.2) можно расположить в пространстве так, что касательные напряжения в ней обратятся в нуль, а будут действовать только нормальные. Площадки, по которым действуют только нормальные напряжения, называются главными площадками; напряжения в главных площадках – главными напряжениями; координаты оси, перпендикулярные к главным площадкам,- главными осями тензора напряжений. Чтобы определить главные напряжения в площадке АВС, необходимо решить кубическое уравнение

.                                               (3.9)

Здесь

Уравнение (3.9) имеет три корня σ_n1, σ_n2, σ_n3. Доказано, что все корни действительные. Эти корни – главные напряжения. Обозначим их  так, чтобы . Определив численные значения главных напряжений, можно найти положение соответствующих им главных осей и главных площадок. В главных осях тензор напряжений приводится к виду

                                  (3.10)

Его называют тензором главных напряжений.

По физическому смыслу задачи главные напряжения должны быть одинаковы независимо от того, в какой координатной системе рассматривается напряженное состояние тела. Поэтому и коэффициенты уравнения (3.10) должны быть одинаковыми. Следовательно,

Эти коэффициенты называются инвариантами тензора напряжений . Таким образом, напряженное состояние можно задать в любой координатной системе x, y, z тензором .