Главные касательные напряжения

Решим задачу в общем виде для трехосного напряженного состояния. Пусть напряженное состояние в точке М задано тензором главных напряжений . Определим положение площадок, в которых действуют главные касательные напряжения. Из уравнений (3.3) – (3.5) получаем

                   (3.12)

Здесь a₁, a₂, a₃ – направляющие косинусы, определяющие положение наклонной площадки, где действует напряжение τ, относительно главных осей 1, 2, 3. Касательное напряжение τ является функцией трех переменных a₁, a₂, a₃.

Выполнив исследования на экстремум функции , получим следующие значения направляющих косинусов, определяющих площадки, в которых действуют максимальные касательные напряжения τ:

                              (3.13)

Первые три направляющих косинуса определяют две взаимно перпендикулярные площадки, проходящие через заданную точку М и ось 1, равно наклоненные к осям 2, 3; вторые три – две взаимно перпендикулярные площадки, проходящие через заданную точку М и ось 2, равно наклоненные к осям 1, 3, последние три – две взаимно перпендикулярные площадки, проходящие через заданную точку М и ось 3, равно наклоненные к осям 1, 2.

Главные касательные напряжения обозначают τ₁₂, τ₂₃, τ₃₁.Здесь индексы показывают оси, к которым равно наклонена площадка, где действует данное касательное напряжение. Направление вектора главного касательного напряжения устанавливают по следующему правилу: вектор τ перпендикулярен к той оси, наименование которой не входит в индекс τ. Например, вектор τ₁₂ перпендикулярен к оси 3 и т.д.

Определим численные значения главных касательных напряжений. Для этого воспользуемся формулой (3.12) и значениями направляющих косинусов (3.13):

(3.14)

Таким образом, любое главное касательное напряжение равно полуразности соответствующих главных нормальных напряжений, взятой со знаком + или -. Воспользовавшись уравнением (3.4), найдем нормальные напряжения, действующие в площадках, определяемых направляющими косинусами (3.13):

    (3.15)