2020-04-12
249
Тема: «Интерполирование функций».
Цель: научиться проводить анализ дискретных значений функции с целью ее интерполирования (определения приближенного значения) при помощи стандартных функций интерполяции: полинома Лагранжа и полиномов Ньютона для случая равноотстоящих узловых значений аргумента.
В результате выполнения лабораторной работы студент должен
ЗНАТЬ:
- основные понятия интерполирования функций (полином, степень полинома, узловые точки, шаг интерполяции);
- способы построения полиномов Лагранжа, Ньютона (1-й и 2-й) для функций, заданных табличными значениями;
УМЕТЬ:
- представлять функцию в виде интерполяционного полинома и находить значение функции в промежуточной точке;
- строить интерполяционный полином Лагранжа для равноотстоящих узлов;
- строить полином Ньютона, выбирая при этом его вид (1-й или 2-й) в зависимости от промежуточной точки.
ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:
- о возможностях прямого решения задачи интерполирования (с помощью системы линейных уравнений).
Постановка задачи
Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу:
| x | x0 | x1 | … | xn |
| f(x) | y0 | y1 | … | yn |
Требуется получить значение функции f для такого x, которое входит в отрезок [x0, xn], но не совпадает ни с одним из значений xi (I=0, 1, …, n). Очевидный прием решения этой задачи – вычислить значение f(x), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Однако, аналитическое выражение функции f неизвестно. В таких случаях применяется особый прием – построение по исходным данным приближенной функции F, т.е.
F(x)» f(x) (1)
При этом требуется точное совпадение значений f(x) и F(x) в точках xi (I=0, 1, …, n), т.е.
F(x0) = y0, F(x1) = y1, …, F(xn) = yn. (2)
Нахождение приближенной функции называется интерполяцией (интерполированием), а точки xi (i=0, 1, …, n) – узлами интерполяции.
Будем искать интерполирующую функцию F(x) в виде полинома степени n:
Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an (3)
Так как условий (2) n+1, то они позволяют однозначно определить коэффициенты a0, a1, …, an. Действительно, равенства
дают систему (n+1, n+1) с неизвестными a0, a1, …, an. Система (4) имеет единственное решение, т.к. определитель матрицы коэффициентов 
отличен от нуля.
Вывод: интерполяционный полином Pn(x) для функции f существует и единственный. Данный способ определения интерполяционной функции F(x) приемлем, но довольно трудоемкий. Рассмотрим другие способы.
