2020-04-12
624
Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей
| x | y | Dyi | D2yi | D3yi | … |
| x0 | y0 | Dy0 | D2y0 | D3y0 | … |
| x1 | y1 | Dy1 | D2y1 | D3y1 | … |
| x2 | y2 | Dy2 | D2y2 | … | |
| x3 | y3 | Dy3 | … | ||
| x4 | y4 | … | |||
| … | … |
Будем искать интерполяционный полином в виде:
Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1)∙…∙ (x-xn-1).
Это полином n-ой степени.
Значения коэффициентов a0, a1, a2, …,an определим из условия совпадения значений исходной функции и полинома в узлах. Действительно, в x = x0, имеем: 
В общем случае, выражение для ak будет иметь вид: 
Подставим (2) в выражение полинома Pn(x):
Для практического применения удобнее преобразовать формулу (3) в виде:
Формула (4) называется 1-й интерполяционной формулой Ньютона.
Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине. За начальное значение x0 можно принимать любое табличное значение аргумента x.
Пример. Составить аналитическое выражение для вычисления функции в точке x=1,8:
|
|
|
| x | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 |
| f(x) | 5 | 8 | 12 | 18 |
| x | y | Dyi | D2yi | D3yi |
| 1 | 5 | 3 | 1 | 1 |
| 1,5 | 8 | 4 | 2 | - |
| 2 | 12 | 6 | - | - |
| 2,5 | 18 | - | - | - |
Решение: h = 0,5
Пример 2. Составить аналитическое выражение для вычисления функции в точке x=2,5:
| x | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f(x) | 8,5 | 10 | 12 | 15 |
Решение: h = 1
| x | y | Dyi | D2yi | D3yi |
| 2 | 8,5 | 1,5 | 0,5 | 0,5 |
| 3 | 10 | 2 | 1 | - |
| 4 | 12 | 3 | - | |
| 5 | 15 | - |
x = x0 + h·t = 2 + t
t = x – 2 =2,5 – 2 = 0,5
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Когда значения аргумента находятся ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу становится невыгодно. В этом случае применяется 2-я интерполяционная формула Ньютона:
Pn(x) = a0 + a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) + … + an(x-xn)(x-xn-1)∙…∙ (x-x1). (5)
Как и для 1-й интерполяционной формулы Ньютона, коэффициенты a0, a1, …,an находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного полинома в узлах:
Подставляя (6) в (5) и переходя к переменной 
, получим 2–ю интерполяционную формулу Ньютона:
Пример. Составить аналитическое выражение для вычисления функции в точке x=4,5:
Решение: h = 1
| x | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f(x) | 8,5 | 10 | 12 | 15 |
| x | y | Dyi | D2yi | D3yi |
| 2 | 8,5 | 1,5 | 0,5 | 0,5 |
| 3 | 10 | 2 | 1 | - |
| 4 | 12 | 3 | - | |
| 5 | 15 | - |
