2020-04-12
1281
Интерполирование может применяться для уплотнения заданной табличной функции, т.е. вычисления по исходной таблице новой таблицы с большим числом значений аргумента на прежнем участке его применения. Эту операцию называют субтабулированием функции.
В случае, когда исходная таблица является таблицей с постоянным шагом, лучше использовать интерполяционный полином Ньютона.
Пример. Дана 5-значная таблица f(x) на отрезке [0,15; 0,18] с шагом k = 0,005. Требуется уплотнить эту таблицу с шагом h = 0,001 на участке [0,155; 0,165]. По исходной таблице составим таблицу конечных разностей:
| x | y | Dyi | D2yi | D3yi |
| 0,150 | 0,14944 | 0,00494 | 0 | -0,00001 |
| 0,155 | 0,15438 | 0,00494 | -0,00001 | 0,00001 |
| 0,160 | 0,15932 | 0,00493 | 0 | 0 |
| 0,165 | 0,16425 | 0,00493 | 0 | -0,00001 |
| 0,170 | 0,16918 | 0,00493 | -0,00001 | - |
| 0,175 | 0,17411 | 0,00492 | - | - |
| 0,180 | 0,17903 | - | - | - |
Заметим, что конечные разности Δ2y уже практически близки к 0 в пределах точности таблицы. Поэтому при использовании интерполяционной формулы Ньютона имеет смысл использовать только первые 3 слагаемых:
Так как по условию отрезок уплотнения [0,155; 0,165], то используем 1-ю интерполяционную формулу Ньютона, где x0 = 0,155. Значение t определим по формуле: 
. Для субтабулирования на концевых участках исходной таблицы нужное количество конечных разностей в формуле обеспечивается применением 2-й интерполяционной формулы Ньютона.
|
|
|
Задание
1. По заданной таблице 1 значений функции
| x | x0 | X1 | x2 |
| f(x) | y0 | Y1 | y2 |
составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа и вычислить значение функции для промежуточного значения аргумента с его помощью.
2. По таблице значений функции
| x | x0 | x1 | x2 | … | xn |
| f(x) | y0 | Y1 | y2 | … | yn |
(таблица задается произвольно, n задается с клавиатуры не больше 10) построить таблицу конечных разностей и вычислить значение функции для промежуточного значения аргумента с помощью интерполяционного полинома Ньютона (для равноотстоящих узлов). По близости промежуточного значения аргумента к началу или концу отрезка интерполяции программа должна автоматически выбрать 1-й или 2-й интерполяционный полином Ньютона.
3. С помощью интерполяционных полиномов Ньютона провести субтабулирование (уплотнение) заданной таблицы (отрезок и шаг уплотнения в таблице 2). В зависимости от расположения участка субтабулирования относительно исходной таблицы выбирается 1-я или 2-я формулы Ньютона.
Таблица 2.
| № | Таб-лица | a | b | H |
| 1 | 3.1 | 0,65 | 0,75 | 0,01 |
| 2 | 3.2 | 0,30 | 0,45 | 0,025 |
| 3 | 3.3 | 1,45 | 1,55 | 0,01 |
| 4 | 3.4 | 1,20 | 1,40 | 0,02 |
| 5 | 3.2 | 0,10 | 0,20 | 0,01 |
| 6 | 3.3 | 1,10 | 1,30 | 0,02 |
| 7 | 3.4 | 1,05 | 1,25 | 0,025 |
| 8 | 3.1 | 0,70 | 0,90 | 0,02 |
| 9 | 3.3 | 1,25 | 1,50 | 0,025 |
| 10 | 3.4 | 1,00 | 1,10 | 0,01 |
| 11 | 3.1 | 0,60 | 0,70 | 0,01 |
| 12 | 3.2 | 0,15 | 0,35 | 0,025 |
| 13 | 3.4 | 1,15 | 1,25 | 0,01 |
| 14 | 3.1 | 0,65 | 0,85 | 0,025 |
| 15 | 3.2 | 0,20 | 0,40 | 0,02 |
| 16 | 3.3 | 1,15 | 1,25 | 0,01 |
Таблица 1.
|
|
|
| В-т | x0 | x1 | x2 | y0 | y1 | y2 |
| 1 | -1 | 0 | 3 | -3 | 5 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | 5 | 4 | 1 | 7 |
| 3 | 0 | 2 | 3 | -1 | -4 | 2 |
| 4 | 7 | 9 | 13 | 2 | -2 | 3 |
| 5 | -3 | -1 | 3 | 7 | -1 | 4 |
| 6 | 1 | 2 | 4 | -3 | -7 | 2 |
| 7 | -2 | -1 | 2 | 4 | 9 | 1 |
| 8 | 2 | 4 | 5 | 9 | -3 | 6 |
| 9 | -4 | -2 | 0 | 2 | 8 | 5 |
| 10 | -1 | 1,5 | 3 | 4 | -7 | 1 |
| 11 | 2 | 4 | 7 | -1 | -6 | 3 |
| 12 | -9 | -7 | -4 | 3 | -3 | 4 |
| 13 | 0 | 1 | 4 | 7 | -1 | 8 |
| 14 | -8 | -5 | 0 | 9 | -2 | 4 |
| 15 | -7 | -5 | -4 | 4 | -4 | 5 |
| 16 | 1 | 4 | 9 | -2 | 9 | 3 |
| 17 | 7 | 8 | 10 | 6 | -2 | 7 |
| 18 | -4 | 0 | 2 | 4 | 8 | -2 |
| 19 | -3 | -1 | 1 | 11 | -1 | 6 |
| 20 | 0 | 3 | 8 | 1 | 5 | -4 |
Таблица 3.1. Таблица 3.2. Таблица 3.3. Таблица 3.4.
| x | sin x | x | cos x | x | sin x | x | cos x | |||
| 0,60 | 0,56464 | 0,05 | 0,99375 | 1,10 | 0,89121 | 1,00 | 0,54090 | |||
| 0,65 | 0,60519 | 0,10 | 0,99500 | 1,15 | 0,91276 | 1,05 | 0,49757 | |||
| 0,70 | 0,64422 | 0,15 | 0,99877 | 1,20 | 0,93204 | 1,10 | 0,45360 | |||
| 0,75 | 0,68164 | 0,20 | 0,98007 | 1,25 | 0,94898 | 1,15 | 0,40849 | |||
| 0,80 | 0,71736 | 0,25 | 0,96891 | 1,30 | 0,96356 | 1,20 | 0,36236 | |||
| 0,85 | 0,75128 | 0,30 | 0,95534 | 1,35 | 0,97572 | 1,25 | 0,31532 | |||
| 0,90 | 0,78333 | 0,35 | 0,93937 | 1,40 | 0,98545 | 1,30 | 0,26750 | |||
| 0,95 | 0,81342 | 0,40 | 0,92106 | 1,45 | 0,99271 | 1,35 | 0,21901 | |||
| 1,00 | 0,84147 | 0,45 | 0,90045 | 1,50 | 0,99749 | 1,40 | 0,16997 | |||
| 1,05 | 0,86742 | 0,50 | 0,87758 | 1,55 | 0,99973 | 1,45 | 0,12050 | |||
| 1,10 | 0,89121 | 0,55 | 0,85252 | 1,60 | 0,99957 | 1,50 | 0,07074 |
Лабораторная работа №4
Тема: «Численное дифференцирование и интегрирование».
Цель: научиться определять производную и интеграл функции с заданной точностью численными методами (функции Лагранжа, Ньютона, Ньютона – Котеса, трапеций, Симпсона) в случае невозможности или трудоемкости их вычисления прямыми методами.
В результате выполнения лабораторной работы студент должен
ЗНАТЬ:
- основные понятия дифференциального и интегрального исчисления (дифференциал, производная, определенный и неопределенный интеграл);
- стандартные (прямые) методы решения дифференциала и интеграла;
- разложение функции в интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона (1-й и 2-й).
УМЕТЬ:
- представлять функцию в виде интерполяционного полинома и дифференцировать с заданной точностью;
- находить интеграл функции с помощью квадратурных формул Ньютона – Котеса, а также с помощью формул трапеций и Симпсона с заданной точностью;
- проводить сравнительный анализ применения каждого из методов для любой функции.
ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:
- о классификации численных методов решения дифференциала и интеграла;
- о геометрической интерпретации численных методов и возможности их применения.
