Проблема способа существования математических объектов. Новые объекты и новые теории в математике

Любые существующие концепции развития знания опираются на анализ некоторых его единиц, которые признаны основными /8, с.55/. За основу могут браться достаточно «мелкие» структурные единицы, такие как факт, теоретическое высказывание или, наоборот, такие глобальные характеристики, общие для целого ряда наук, как стиль научного мышления. Но самым распространённым является подход, согласно которому за структурную единицу знания принимается теория и эволюция знания понимается как эволюция теорий. Его мы и придерживаемся в данной работе.

 Математические теории наиболее естественно рассматривать как организованное знание, как систему положений, объединённых между собой доказательными переходами. Любую новую математическую теорию можно охарактеризовать её генетическим базисом, т.е. некоторыми понятиями и связывающими их утверждениями, которые оказались выделены из всей остальной математики и, опираясь на которые, теория в дальнейшем развивается как в сторону исследования более сложных объектов и отношений, так и в сторону выявления своих основных принципов, т.е. в сторону логического обоснования (см. /88, с.142/). Исторически выделение генетического базиса, по-видимому, наиболее часто осознавалось как переход к специальному исследованию тех или иных математических объектов, т.е. к новой референции знания. В пользу этого свидетельствуют хотя бы сами названия математических теорий: теория чисел, теория множеств, теория инвариантов, теория функции действительного переменного и т.д. Реже название указывает скорее на метод, чем на объект, например, алгебраическая геометрия. Но и в этом случае появление новой теории можно связывать с возникновением новых объектов исследования – алгебраических уравнений специфического вида вместо геометрических фигур.

Вместе с тем, само понятие математических объектов является проблематичным. Биология и физика обычно конституируются как знания о вполне конкретных объектах, расположенных во времени и пространстве, и как методы исследования этих объектов. Онтологический же статус математических объектов, или, другими словами, способ их бытия неясен. Впрочем, для многих работающих математиков очень удобно мыслить о математических объектах в реалистическом, платонистском духе. Эти объекты тогда становятся, в каком-то смысле, однопорядковыми с объектами физической реальности[26]. Э. Бет (см. /137/) выделял следующие моменты, склоняющие в пользу платонистской концепции: 1) естественный мир меняется, математические понятия неизменны, следовательно, они не являются отражением внешнего мира; 2) в то время как естественные науки в своём развитии зависимы от нашего восприятия внешнего мира, математика развивается автономно; 3) элемент случайности в процедурах эмпирических наук приводит к постоянному сомнению, но то, что однажды доказано в математике, остаётся неопровержимым. Однако всё это лишь психологическое объяснение платонистской концепции, а отнюдь не её обоснование. Все три пункта можно пытаться объяснять и без опоры на платонизм. Прямо противоположный, по сравнению с платонистским, подход к решению проблемы онтологического статуса математических объектов предлагает, например, Рэндалл Коллинз. В своей книге «Социология философии: Глобальная теория интеллектуального изменения» /138/ он настаивает на социальном статусе объектов математики. Рассмотрим этот подход немного подробнее.

Р. Коллинз отстаивает тезис о социальной природе всякого познания, в том числе естественно-научного и математического. Но отсюда он делает не скептические или релятивистские, а вполне реалистические выводы. Существовать, для Коллинза, значит быть соразмерным вещам, окружающим человека (принцип – in media res). Аргументация, которую он при этом приводит, является социологической трактовкой декартовского cogito. Утверждать «я мыслю» – значит утверждать о существовании времени, пространства, языка, сообщества людей, способных этот язык понимать. Это предполагает преемственность идей, а также носителей этой преемственности – интеллектуальные сообщества. Это, в свою очередь, предполагает существование всего того социального и физического мира, с которым интеллектуальные и исследовательские сообщества непосредственно сталкиваются. Трудности, по Коллинзу, возникают лишь при объяснении мира теоретического естествознания и мира объектов математики. На первый взгляд, как теоретические объекты естествознания, так и математические объекты, существуют за пределами соразмерного человеку мира, они существуют идеально. Будучи последовательным социологическим реалистом, Коллинз редуцирует объекты естествознания к феноменам лабораторного оборудования. Социальная реальность объектов математики доказывается им следующими двумя способами. Во-первых, он исходит из того, что понимание любого, даже самого простого математического выражения предполагает встроенность человека в математическую традицию, контакт с сетью учителей и т.п. Математика насквозь традиционна, а значит, редуцируема к социальной реальности. Второй аргумент Коллинза состоит в том, что объектами математики являются не «вещи», а операции, и, в принципе, все эти операции есть обобщения, расширения, свёртки элементарных операций над вещным миром, - редукция к in media res. В основе же таких операций, как, например, счёт, лежат вполне тривиальные материальные жесты, такие операции соразмерны человеку. Общий вывод: «Математические объекты реальны в том же смысле, в каком реально человеческое общение. Это реальность процессов деятельности реальных человеческих существ, выполняемой во времени и локализованной в пространстве» /58, с.12/.

Действительно ли подобные аргументы способны поколебать математический платонизм? Первый аргумент является, пожалуй, слишком «сильным». Восприятие не только математики, но и любых других культурных феноменов предполагает традицию обучения. Но из того, что, допустим, астрономия учит нас распознавать звёзды, отнюдь не следует, что звёзды суть лишь объекты социальной реальности. То, что математики учатся воспринимать объекты своей науки в определённой культурно-обусловленной форме, ещё не является решающим доводом против того, что эти объекты вне данной формы (скажем, данного математического выражения) и даже вне всяких форм, не существуют. На второй аргумент Коллинза можно возразить, что из того, что исторически мы приходим к математике, отталкиваясь от «мира вещей», ещё не следует, что математика в своей основе эмпирична. Генезис не тождественен сущности. Элементарная (эмпирическая) математика даёт лишь повод для дальнейшей умозрительной деятельности. Кроме того, видимо, ошибочно представлять развитие математики как последовательное развёртывание того содержания, которое появилось на эмпирическом этапе. Напротив, в математике постоянно появляется новое самостоятельное содержание. На наш взгляд, более продуктивным подходом к проблеме статуса математических объектов, чем коллинзовский, является подход, предложенный М.А. Розовым.

Теория социальных эстафет, длительное время разрабатываемая М.А. Розовым, - это своеобразная онтология, в рамках которой можно рассматривать различные культурные явления. Социальными эстафетами, вслед за Куайном (см. /61, с.56-57/), М.А. Розов называет процессы постоянного воспроизведения непосредственных живых образцов поведения. Он выделяет и анализирует элементарные эстафеты, основанные на непосредственном подражании; опосредованные эстафеты, основные связи и трансформации эстафет, механизмы стационарности эстафет и т.д. (см. /103/). В своей статье «Способ бытия математических объектов» (см. /100/, /155/), М.А. Розов показал, что в рамках теории социальных эстафет может найти свой решение и проблема онтологического статуса математических объектов. В статье утверждается, что именно социальные эстафеты являются способом бытия математических объектов /100, 23/. На первый взгляд такая точка зрения близка подходу Коллинза, когда тот делает упор на традиционности математики, и против неё можно выдвинуть аналогичные возражения. Например, отметить (как это сделал В.Я. Перминов /122, с.249/), что  механизмы социальной эстафеты в одинаковой степени приложимы ко всем явлениям культуры вообще и, следовательно, сами по себе не могут содержать объяснения специфики математических объектов. Но особенность подхода М.А. Розова как раз и заключается в том, что такую специфику оказывается выделить возможно. При этом вопрос о специфике математического знания трансформируется в вопрос о специфике социальных эстафет, его конституирующих.

В своей статье «Способ бытия математических объектов» М.А. Розов в качестве отправного пункта для рассуждений взял точку зрения Р.Л. Гудстейна на природу натуральных чисел. Гудстейн сопоставлял арифметику с шахматами и писал, что «… шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии, - роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахматным правилам, формулируются в терминах дозволенных преобразований числовых знаков» /31, с.22 /. То есть, как справедливо замечает М.А. Розов /100, с.20/, шахматные фигуры можно сделать из дерева или из пластмассы, цифры можно писать карандашом на бумаге или вырезать на камне, - материал не имеет значения. Всё определяют правила «ходов», которые задают роли. Объекты математики – это некоторые роли соответствующих обозначений /100, с.25/. Это высказывание, видимо, подразумевает, что математические объекты не могут иметь для нас независимого существования вне рамок математического языка (ведь они есть роли обозначений). Как бы не решался вопрос о статусе бытия математических объектов, сами эти объекты доступны нам только через язык математики[27]. Нельзя предложить процедур, разделяющих оперирование с математическими объектами, от процедур оперирования со знаками, эти объекты представляющими. Но, с другой стороны, те роли, которые цифры играют в языке – это способы их употребления. М. Полани писал по этому поводу /92, с.125/: «Как и шахматные фигуры, символы чистой математики не являются (или не обязательно являются) выражением чего-либо, ими обозначаемого, а говорят, прежде всего, о том, как можно их употреблять в соответствии с заданными правилами». Способ же употребления совпадает здесь со значением термина. «Математический символ воплощает концепцию собственной операциональности, подобно тому, как в шахматах слон или конь воплощает правило перемещения данной фигуры» (там же). Получается, что эстафеты, определяющие математику, задающие специфику её объектов, являются теми же эстафетами, что задают и значения терминов языка математики.

То, что значение математического символа задаётся, главным образом, совокупностью правил оперирования, резко отличает математические понятия от понятий «естественного» языка. В то время, как развитие «естественных» языков напрямую зависит от установления всё новых и новых корреляций языковых конструкций с предметами и явлениями окружающего мира, математический язык демонстрирует поразительную способность развиваться, образовывая всё новые и новые понятия, непосредственно не связанные с реалиями физического универсума. Математический язык допускает интерпретацию на внематематических объектах, но стремится исключить явную референцию к ним, заданность ими. Референциальные отношения переносятся внутрь самой математики. Другими словами, математика в своём развитии стремится быть референциально замкнутым языком. Минимальная значимость для математических терминов быть отнесёнными к физическим реалиям как раз и является следствием того, что их значения передаются в гораздо большей степени фиксированными правилами, чем семантикой ситуации, транслируемой с помощью непосредственных эстафет. Иными словами, при переходе от «естественного» языка к математическому происходит смена референции с семантической на синтаксическую. Те эстафеты, которые обуславливают тенденцию к тотальной алгоритмизации математики как языка, и задают специфику её объектов. Без этих эстафет задание математических объектов невозможно. Непонимание подобного обстоятельства приводило порой к сомнительным заключениям даже классиков философии. Вспомним классическое рассуждение Канта[28]. Число 12 аналитически не заложено в сумме 5+7. Утверждение 5+7=12 синтетично, т.е. даёт расширение знания, а не просто проясняет уже имеющееся. В то же время в отличие от эмпирических (апостериорных) суждений оно априорно, так как, по Канту, «выражает необходимость одних только понятий» /44, с.39-40/. Кант показывает эту необходимость буквально на пальцах! «В самом деле, - пишет он /44, с.40/, – беру сначала число семь и затем для получения понятия пяти, прибегая к помощи созерцания пальцев своей руки, присоединяю постепенно к числу 7 с помощью этого образа единицы, ранее взятые для составления числа 5, и таким образом вижу, как возникает число 12». Однако совершенно ясно, что дело здесь не в способе «созерцания», а в наличии весьма сложного понятия числового ряда и введенной на его основе операции сложения, т.е. не в семантической, а в синтаксической референции. Такой объект, как число 12, существует не столько для трансцедентального эго, сколько для сообщества математически образованных людей, знакомых с числовым рядом и элементарной арифметикой.

Вернёмся к аналогии Гудстейна между шахматами и математикой. В определённом отношении она является весьма продуктивной. И вместе с тем, при её абсолютизации, она ошибочна. Шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят себя как нормативная система, т.е. существуют только в рамках определённых социальных эстафет. Как пишет М.А. Розов /100, с.23/, эти эстафеты есть механизм существования шахмат, способ их бытия. Мы принимаем, что эстафеты – это способ бытия и математических объектов. Но нормативная система математики отличается от нормативной системы шахмат тем, что в ней возможны изменения старых правил и появление новых. Математика, как совокупность правил, постоянно демонстрирует способность к развитию. Шахматные же правила в неизменном виде существуют многие столетия. Здесь мы сталкиваемся с полной алгоритмизацией. Но сейчас мало кто верит, что в математике такая полная алгоритмизация осуществима. В предыдущем параграфе мы рассматривали, как Давид Гильберт пытался доказывать представимость классической математики в виде формальных систем, систем, являющихся, в рассматриваемом смысле, аналогом шахмат. Однако в сколько-нибудь полном объёме программа Гильберта оказалась нереализуема. Тенденция к тотальной алгоритмизации математики как языка остаётся, по-видимому, только тенденцией. Итак, математика может рассматриваться как открытая, пополняемая семиотическая система, а шахматы нет. Если бы мы могли пополнить шахматные правила, скажем, возможностью перемещения прыжками через фигуры, стоящие по диагоналям, то мы ввели бы, тем самым, в шахматы принципиально новые объекты, обладающие возможностью передвигаться по этим новым правилам. Аналогичным образом, появление новых объектов в математике, по-видимому, можно интерпретировать как изменение правил «математической игры». Скажем, теория множеств Кантора возникла как результат снятия запрета на оперирование актуально бесконечными совокупностями, а понятие группы Галуа ввёл с помощью формулировки новых правил оперирования с традиционными математическими объектами (перестановка корней уравнений).

Из этих примеров видно, что можно говорить как о пополнении математики новой системой правил (случай с Галуа), так и о модификации старых систем правил (случай с Кантором - пример радикальной модификации с помощью отмены предшествующих правил). Остановимся на последней возможности - модификации старых систем правил. Чем она, в свою очередь, определяется? Судя по всему, тем, что в математике существуют такие понятия, значения которых не является жёстко заданными (т.е. не являются полностью заданными в синтаксическом смысле)[29] и потому, они могут быть связанными с модифицированной системой правил. Именно здесь лежит фундаментальное отличие между содержательной и формальной математикой. «До XIX века учёные, по-видимому, не пытались определить сложение и умножение натуральных чисел иначе, чем путём прямого обращения к интуиции», - писал Н. Бурбаки /16, с.36/. Аксиоматизация арифметики (т.е. формулировка полного набора правил) произошла лишь во второй половине девятнадцатого века. Но тогда чем задавалась роль числовых знаков в языке в условиях отсутствия явно сформулированных правил? Этот вопрос ставит перед собой М.А. Розов в рассматриваемой нами статье /100, с.172/. Ответ, даваемый в рамках теории эстафет, очевиден - непосредственными эстафетами. Кроме значений, задаваемых совокупностью правил, в математике возможны и значения, задаваемые практикой, выработанным в ней неформальным умением оперировать с математическими знаками. Это умение передаётся в процессе обучения образцам работы, путём подражания им.

Признаем, что целый ряд фактов в истории математики может быть объяснён тем, что правила, задающие объекты, не эксплицируются полностью в математических текстах, а транслируются с помощью непосредственных эстафет. Другой вопрос, каково значение этих фактов? Являются ли они историческим курьёзом или принципиальны для объяснения возможности развития математики? Как известно, одной из пяти проблем Гильберта в философии математики являлась проблема соотношения содержательного и формального в математике и логике (см. /35, с.107/). В решении её мы придерживаемся скорее точки зрения такого оппонента формалистской философии математики как Имре Лакатоса /65/, чем самого Гильберта. Содержательность математики неустранима, постольку, поскольку основным способом её развития является решение всё новых и новых проблем, которые ставятся перед ней практикой (в широком смысле этого слова), и дальнейшая систематизации полученных результатов. Как для формулировки, так и для решения этих проблем требуется введение новых понятий, структурирование их в языке математики. При этом строгая логическая экспликация нередко оказывается делом отдалённого будущего, во-первых, потому, что она часто является излишней с прагматической точки зрения, а, во-вторых, потому, что порой требует самых неординарных интеллектуальных усилий.

В современной литературе по философии математики существуют представления о цикличности чередования двух основных способов систематизации математического знания: теоретического и практического. При теоретическом способе систематизации математические утверждения распределены по теоретическим конструкциям, представляющим собой цепочки доказательных рассуждений /10, с.125/. При практическом способе систематизации математического знания утверждения распределены согласно тем теоретико-прикладным потребностям, изучению и удовлетворению которых эти утверждения могут быть полезны /10, с.126/. Как может происходить смена способов систематизации? Один из ответов, - через вторжение в математику задач, которые не могут быть структурированы в рамках сложившихся теоретических систем. Лавинообразное возрастание таких задач означает разрушение теоретического способа систематизации. Прежде чем они получат свою интерпретацию в рамках новых теоретических систем, может пройти несколько столетий (как это случилось, например, с практически-ориентированной математикой средних веков). А это значит, что в течение длительного времени объекты, относящиеся к значительному объёму математического знания, будут задаваться, главным образом, с помощью эстафет непосредственного опыта работы с ними. В такие периоды культивируются иллюзии интуитивной очевидности, вроде иллюзии интуитивной очевидности высказывания «дважды два – четыре». Гораздо чаще, впрочем, вторжение практической математики бывает более локальным. Математические представления, не интерпретируемые в рамках сложившихся теоретических систем, могут быть относительно изолированными (часто они переносятся в аксиоматику). В таких случаях, для создания новой теории необходимо осознание неочевидности исходных «интуиций» и экспликация правил оперирования с соответствующими объектами. То, что простая экспликация правил может привести к появлению новой теоретико-математической системы, хорошо видно на примере возникновения геометрии Лобачевского. Остановимся более подробно на этом хрестоматийном историко-математическом факте.

Как известно, среди постулатов геометрии Евклида особое место занимал пятый постулат – постулат о параллельных прямых. Многим математикам древности он не казался настолько очевидным, чтобы было оправдано его принятие без доказательства. Во всяком случае, Евклидом строго доказывались гораздо более простые предложения. Большая часть предложений геометрии Евклида либо доказывалась непосредственно при помощи пятого постулата, либо при помощи тех предложений, которые были доказаны с использованием этого постулата раньше. Поэтому строгое доказательство постулата о параллельных, сведение его к другим постулатам и аксиомам позволило бы резко повысить «доказательную силу» всей геометрической системы Евклида. Теория параллельных была в центре внимания греческих геометров ещё до Евклида. Рассуждения о параллельных линиях можно найти уже в «Аналитике» Аристотеля. Но так как попытки безупречного обоснования этой теории успеха не имели, Евклид, как полагал выдающийся знаток научного наследия Лобачевского В.Ф. Каган /41, с.111-112/, разрубил «гордиев узел», связанный с пятым постулатом, и принял содержащееся в этом постулате утверждение без доказательства[30]. Но многочисленные комментаторы евклидовых «Начал» очень рано возродили попытки доказать постулат о параллельных линиях. Эти попытки не прекращались со времён античности вплоть до первой четверти 19-го века. Выдающиеся геометры и простые любители геометрии сломали на этом поприще немало копий. Но общий результат был плачевен. Чаще всего попытки доказать постулат страдали одним серьёзным недостатком: явно или неявно они опирались на допущения, эквивалентные доказываемому постулату.

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) – это теоретическая система, которая образована на основе геометрии Евклида. При этом принимается вся аксиоматика Евклида за исключением пятого постулата – постулата о параллельных, а также все те предложения евклидовой геометрии, в доказательстве которых не было необходимости этот постулат использовать. Как же удалось сделать Лобачевскому своё открытие? Если мы хотим, исходя из перечисленных условий, построить новую геометрическую систему, то первое, что необходимо – это выяснить логические следствия отказа от постулата о параллельных. Известно, что одной из эквивалентных формулировок постулата о параллельных является утверждение о том, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым (гипотеза прямого угла). После отказа от постулата остаются две возможности – сумма углов в треугольнике больше двух прямых (гипотеза тупого угла) и сумма углов в треугольнике меньше двух прямых (гипотеза острого угла). Гипотеза тупого угла была легко опровергнута уже до Лобачевского[31]. Значит, ему необходимо было принять гипотезу острого угла. Что он и сделал. Но это логическая реконструкция первых шагов создания неевклидовой геометрии. Она предполагает вполне определённое намерение построить новую геометрическую систему. Фактически же эти шаги впервые были предприняты совсем с другой целью, не с целью составить конкуренцию Евклиду, а, наоборот, с целью более строгого обоснования его геометрической системы.

Начиная с 18 века, основным способом, которым пытались освободить геометрию от постулата о параллельных, было доказательство от противного: исходили из допущения, противоположного постулату (а именно, - из гипотезы острого угла) и стремились прийти к противоречию с уже установленными предложениями, тем самым, доказывая постулат. Мы позволим себе здесь цитату из книги известного современного специалиста в области философии математики А.Г. Барабашева /8, с.77-78/: «В литературе по философским проблемам математики, затрагивающим вопрос о создании неевклидовой гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского), глубоко укоренилась точка зрения о том, что эта геометрическая конструкция возникла в результате … простого удлинения доказательных рассуждений, строящихся с заменой постулата о единственности параллельных на постулат о множественности параллельных (т.е. на гипотезу острого угла – М.В.). Такие рассуждения имели своей целью доказать справедливость постулата о единственности параллельных от противного: показать, что обратное утверждение ложно, ибо приводит к противоречию. Подобные доказательства начали строить ещё комментаторы Евклида; рассуждения усложнялись, становились всё более хитроумными и, наконец, Лобачевский, Бойяи и Гаусс поняли, что диковинная конструкция внутренне непротиворечива». Итак, новая геометрическая система возникла в результате «простого удлинения доказательных рассуждений» от противного! Выполняя работу по опровержению гипотезы острого угла, учёные в то же время незаметно для себя открывали новую математическую теорию. Шаг за шагом, наращивая цепочку рассуждений, направленных на опровержение гипотезы острого угла, Лобачевский (как и два других первооткрывателя гиперболической геометрии) был вынужден вводить всё новые и новые геометрические конструкции, которые затем оказались объектами новой геометрии! В творчестве каждого из трёх великих геометров существовал, по-видимому, какой-то момент, когда те странные результаты, которые они получали, оказались ими осознаны не как разрозненные диковинные конструкции, а как часть единого целого новой теоретической системы. Они увидели реальные контуры новой целостности, новой геометрии. Возможно, здесь уместно применить представление о переключении гештальта, которое Томас Кун использовал в своей трактовке научных революций.

Психологи пользовались представлением о переключении гештальта, главным образом, в опытах, связанных с изменением зрительного восприятия. Томас Кун пришёл к выводу, что нечто подобное этим переключениям происходит в сознании учёных после научных революций. Их восприятие научной картины мира изменяется так, что одна целостность сменяется другой /63, с.151-180/. Сдвиг восприятия, сдвиг научного видения возникает в результате научных открытий. Но и сами эти открытия нередко такой сдвиг предполагают. Так, Аристотель и Галилей рассматривали одни и те же факты, но под разными углами зрения. То же самое относительно математических фактов можно сказать о Лобачевском и, например, о Саккери и Ламберте, которые, идя, как и Лобачевский, по пути планомерного вывода всех следствий из гипотезы острого угла, тем не менее, не смогли произвести переоценки полученных результатов. Напротив, осознание сдвига восприятия привело первооткрывателей гиперболической геометрии к весьма продуктивной смене целей исследования. В терминологии М.А. Розова подобная смена целей исследования трактуется как рефлексивное преобразование деятельности[32].

Итак, появление целого мира новых математических объектов – мира геометрии Лобачевского, было полностью связано с изменением одного единственного правила – подразумеваемого правила оперирования с таким понятием, как «параллельность прямых». Здесь уместна цитата из Т. Куна /63, с.78/: «Они (новые научные представления – М.В.) создаются непреднамеренно в ходе игры по одному набору правил, но их восприятие требует разработки другого набора правил». Открытие было осуществлено с помощью рефлексивного преобразования предшествующей деятельности. Поэтому такие преобразования можно рассматривать в качестве одного из механизмов развития математики. Этот механизм работает постольку, поскольку математика недоопределена правилами, не является полностью формальной, но, в определённой степени, и содержательной дисциплиной. В содержательной математике существуют понятия (в большей или меньшей степени эксплицированные), в отношении которых могут быть сформулированы новые правила. Изменив правила, математики теряют свободу вводить или не вводить новые математические объекты.