Программа Гильберта. Сильные и слабые рациональные переходы в математике

Под рациональными переходами в математике мы будем, главным образом, понимать переходы к новым теориям. Проблема рациональных переходов к новым математическим теориям косвенным образом затрагивалась в рамках программ обоснования математики. Ведущей проблемой обоснования математики, в конце концов, оказалась проблема установления непротиворечивости математических теорий. Значимость этой проблемы стала постепенно выясняться по мере реализации следствий из знаменитого тезиса Кантора, заявившего, что «сущность математики заключается в её свободе» /45, с.80 /[23]. Традиционно проблема обоснования математики сводилась к выяснению «природы» математических понятий. Надёжность математических теорий не подвергалась сомнению. Математические понятия, как правило, непосредственно или опосредованно референциально связывались с реалиями окружающего мира. Проблема состояла лишь в том, каково их происхождение: эмпирическое или рациональное (т.е. обусловленное, главным образом, интуициями разума). Недостаточность такого подхода обнаружилась с возникновением гиперболической геометрии. Не представлялось возможным удостовериться, какая из двух альтернативных геометрических систем - геометрия Евклида или геометрия Лобачевского – являются геометриями реального пространства. Пуанкаре стал отстаивать точку зрения, что такой вопрос принципиально неразрешим (см. /96, с.32-62/). Это противоречило привычным представлениям о единственности и предопределённости математических построений, ссылкам на то, что они являются более точными и более совершенными копиями реальных явлений. Впервые в математической практике возник вопрос о непротиворечивости математической теории. В отношении гиперболической геометрии Лобачевского этот вопрос решался с помощью построения её евклидовых моделей. Таким образом удостоверились в её относительной (относительно геометрии Евклида) непротиворечивости. В свою очередь относительная непротиворечивость евклидовой геометрии была установлена Давидом Гильбертом, который построил её арифметическую модель. Тем самым вопрос о непротиворечивости геометрии был сведён к вопросу о непротиворечивости арифметики действительных чисел. Проблема обоснования непротиворечивости арифметики действительных чисел оказалась значимой ещё и потому, что теория действительных чисел обеспечивала строгость рассуждениям анализа. Но сама эта теория предполагала непротиворечивость теории множеств и непротиворечивость арифметики натурального числа. Однако имидж канторовской теории множеств сильно испортило обнаружение теоретико-множественных парадоксов. Д. Гильберт принадлежал к тем математикам, которые считали, что всё ещё можно спасти, доказав непротиворечивость натуральной арифметики. Рассмотрим подробнее его программу обоснования. Ориентироваться при этом мы будем на её изложение и интерпретацию в работах /26, с.209-227/ и /115, с.229-248/.

Гильберт очень серьёзно воспринял критику интуиционизмом теоретико-множественного подхода в классической математике. Но он не мог признать интуиционистской программы обоснования математики. По его мнению, она была равносильна «предательству нашей науки». Гильберт предложил разделить объекты и суждения классической математики на реальные и идеальные. К идеальным объектам, например, относятся канторовские актуально-бесконечные множества. Гильберт вывел подобные объекты из-под критики утверждением, что они не являются подлинными математическими объектами, а есть объекты, вводимые в теорию только для удобства. Они непосредственно не значимы ни для каких приложений. Реальным надо считать только мир конечной, «финитной» математики. Идеальные же объекты позволяют обнаруживать более общие закономерности реального мира математики, более быстро и просто доказывать её теоремы.

Математическое утверждение является реальным высказыванием, если оно само или его отрицание могут быть установлены какими-нибудь рассуждениями из совокупности финитных рассуждений. Надо согласиться (см. /26, с.210/), что с эпистемологической точки зрения единственно важной характеристикой финитного рассуждения является его непосредственно распознаваемая безошибочность. Для того, чтобы без опаски пользоваться идеальными средствами, достаточно, чтобы мы были неспособны финитными методами опровергнуть оперирующую ими математическую систему, теорию. Но принципиальную невозможность этого надо установить тоже финитными методами. Итак, проблема обоснования данной теории будет исчерпана, если мы сумеем финитными рассуждениями удостовериться, что среди её реальных утверждений нет таких, отрицание которых доказывается финитными средствами. Сложность реализации подобной установки состоит в том, что не совсем ясен способ, как в каждом отдельном случае мы можем прийти к искомым финитным (безошибочным) рассуждениям. С утверждением некоторых правдоподобных предположений относительно этих рассуждений и связана дальнейшая конкретизация программы Гильберта.

Гильберт пояснял, что безошибочность (финитность) рассуждений непосредственно связана с принципиальной представимостью объектов этих рассуждений и принципиальной выполнимостью операций над этими объектами /25, с.59/. С тем и другим, как представлялось, мы встречаемся в элементарной теории чисел. В связи с этим возникло основное предположение программы Гильберта (см. /26, с.212/): среди финитных доказательств любого разрешимого в элементарной теории чисел высказывания есть и такие, которые принадлежат этой теории. Поскольку наиболее важные математические системы, нуждающиеся в обосновании, согласованы с теорией чисел, а их реальные теоремы суть предложения, разрешимые в этой теории, то и для них совокупность финитных рассуждений можно, по-видимому, свести к совокупности рассуждений элементарной теории чисел. Именно на подобные системы была ориентированна программа Гильберта. Но для таких систем принципиальная невозможность их опровержения финитными методами равносильна их собственной непротиворечивости /26, с.212/. Таким образом, задача обоснования математики сводится теперь к задаче установления средствами элементарной теории чисел непротиворечивости подобных систем. Для решения этой задачи Д. Гильберт предложил заменить в пределах своей программы каждую содержательную математическую дисциплину её формальным аналогом. Вопрос о формальной непротиворечивости имеет синтаксический характер и, как показал К. Гёдель, может быть финитно сведён к вопросу об истинности соответствующего арифметического утверждения. Это утверждение будет выступать в качестве арифметической трактовки непротиворечивости. Отметим /26, с.213-214/, что даже при успешной её реализации программа Гильберта даёт лишь условно финитное обоснование математики. Уровень обоснованности математики в этом случае будет зависеть от степени обоснованности основного предположения Гильберта и степени согласованности математических систем с элементарной теорией чисел. Сам Гильберт, по-видимому, не испытывал никаких колебаний в этих двух пунктах. Он утверждал, что математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза /23, с.388/. А между тем, нельзя исключать возможность того, чтобы для некоторой теоремы А из «непротиворечивой» в рамках программы Гильберта математической системы не было найдено финитное доказательство её отрицания  – не-А. Мы могли переоценить, как степень согласованности данной системы с элементарной теорией чисел, так и степень обоснованности основного предположения программы Гильберта. У нас нет убедительных доказательств как для предположения, что все финитные методы содержатся в некоторой математической системе, так и для предположения, что все доказательства в элементарной теории чисел финитны. Поэтому слабая тень фаллибилизма всегда висела и над программой обоснования великого немецкого математика.

Как было сказано, доказательство непротиворечивости в рамках программы Гильберта есть способ убедиться в невозможности опровержения теории финитными методами. Важно и то, что при тех допущениях, которые принимал Гильберт, доказательство непротиворечивости эквивалентно доказательству элиминируемости идеальных элементов /115, с.230/. Согласно Е.Д. Смирновой, обязательным условием, с которым у Гильберта связывалось введение идеальных элементов, являлось именно доказательство элиминируемости их из контекста всей теории. В вопросе об элиминируемости непосредственно неинтерпретированных терминов выделяют два подхода /115, с.230-232/. Самый жёсткий состоит в требовании элиминируемости всех неинтерпретированных терминов, что равносильно требованию, чтобы каждый термин, не имеющий непосредственной интерпретации, должен быть явно определим посредством интерпретированных терминов системы. Более либеральная установка ограничивается требованием переводимости всех предложений, содержащих неинтерпретированные термины, в предложения, их не содержащие, т.е. требованием контекстуальной определимости. Идея Гильберта, по всей видимости, заключалась в том, что все контексты, в которых используются идеальные элементы, могут быть интерпретированы в формулах реальной (финитной) математики. Причём интерпретацию получает не отдельно взятое предложение, а вся теория в целом. Такой интерпретацией содержательной математической теории является её формальный аналог. Наличие формального аналога означает, что теория с идеальными элементами построена таким образом, что имеется «обратный путь» к реальным предложениям. Поэтому отношение между содержательной и формальной теорией по существу устанавливает отношение между теорией, не содержащей определённых терминов, способов образования выражений, и теорией, их содержащей. С точки зрения логики отношение устранимости между двумя теориями означает, что одна из них является консервативным расширением другой[24]. Как показывают высказывания Гильберта (см. /23, с.376/), он рассматривал содержательную математическую теорию, теорию с идеальными элементами, именно в качестве консервативного расширения её формального аналога. Но легко доказывается (см. /115, с.236-237/), что всякое консервативное расширение S системы F непротиворечиво лишь тогда, когда полна и непротиворечива сама система F. Поскольку Гильберт предполагал полноту рассматриваемых им формальных систем, доказательство их непротиворечивости гарантировало непротиворечивость и соответствующих теорий содержательной математики.

Е.Д. Смирнова считает, что основным содержанием подхода Гильберта является обоснование вводимых идеализаций, а не доказательство непротиворечивости самой по себе /115, с.30/. Можно согласиться, что доказательство непротиворечивости в рамках программы Гильберта не является самоцелью. Но вера в непротиворечивость теорий классической математики явилась необходимой предпосылкой для формулировки этой программы. К тому времени, когда Гильберт стал её активно разрабатывать, последствия теоретико-множественных парадоксов были уже устранены аксиоматикой Цермело-Френкеля. Аксиоматика ввела некоторые ограничения, но такие, что смысл и применимость теории множеств остались прежними. Но никакой гарантии, что аксиоматизированная теория множеств не натолкнётся на новые противоречия, не существовало. Такая ситуация казалась Гильберту нетерпимой. Гильберт считал /24, с.101/, что недостаточно лишь восстанавливать покачнувшуюся репутацию математических теорий. Его принципиальным требованием являлось то, чтобы аксиоматика теории была направлена в будущее, а именно на установление того обстоятельства, что противоречия вообще не могут быть в этой теории возможны. Принципиальная непротиворечивость – вот тот стандарт оценки, с которым Гильберт подходит к теориям классической математики. Его разделение математических объектов и суждений на реальные и идеальные, конкретизация им финитных методов есть следствие этого подхода. Решающая значимость обнаружения непротиворечивости математических теорий оспаривалась интуиционистами. Так, Брауэр едва ли был бы готов признать канторовскую теорию множеств даже при формальном доказательстве её непротиворечивости. Но равнозначного стандарта приемлемости математических теорий интуиционисты предложить не смогли. Ведь «понятие об интуитивной ясности в математике само не является интуитивно ясным» /22, с.225/.

Серьёзный удар по престижу гильбертовской программы обоснования математики нанесли, как известно, две теоремы Гёделя о неполноте. До недавнего времени было принято считать, что вторая теорема Гёделя о неполноте показывает несостоятельность программы Гильберта в её самом существенном пункте. Ибо, как утверждалось, её следствием является то, что доказательство непротиворечивости непротиворечивой теории, содержащей арифметику, невозможно провести средствами в этой теории формализуемыми. По существу опровергалось основное предположение программы Гильберта. Однако новосибирскими логиками Ю.Л. Ершовым и К.Ф. Самохваловым было показано /26, с.230-232/, что вторая теорема Гёделя запрещает лишь вполне конкретную формулу, выражающую непротиворечивость формальной системы. Из второй теоремы Гёделя никак не следует невозможность формализовать в арифметике любое другое финитное доказательство её непротиворечивости. Этот результат позволил Ю.Л. Ершову и К.Ф. Самохвалову предложить новую модификацию программы Гильберта. Однако они совсем не рассматривали значимость первой теоремы Гёделя. Следствием этой теоремы, как известно, является то, что любая непротиворечивая формальная арифметика неполна. Но, как мы говорили выше, вопрос о непротиворечивости системы S относительно её формального аналога F эквивалентен вопросу об устранимости идеальных элементов лишь при допущении, что F полна. При серьёзном отношении к результатам Гёделя, видимо, приходится делать неутешительные для первоначального замысла программы Гильберта философские выводы: вся осмысленная математика несводима к высказываниям о конкретных, обозримых, реализуемых в пространстве объектах, т.е. к реальной математике Гильберта. Вместе с тем, результаты Гёделя не оказывают никакого влияния на значимость требования о принципиальной непротиворечивости математических теорий. Это требование, как мы говорили, не выводимо из программы Гильберта, а, наоборот, с ним сложным образом связана её формулировка и реализация.Стандарт принципиальной непротиворечивости сохраняет абсолютную значимость даже и вне связи с гильбертовским методом идеальных элементов.

Программа Гильберта, как мы подчёркивали, была направлена на обоснование классической математики. Но как оценивать новые математические теории, их приемлемость? Известный логик Х. Карри, например, считал, что непротиворечивость не является достаточной для принятия теории потому, что последняя может оказаться совершенно бесполезной для решения каких-либо задач /143, р.155/. Теории классической математики доказали свою эффективность во многих приложениях; но о новых математических теориях, как правило, этого утверждать нельзя. Гильберт писал, что «… если, помимо доказательства непротиворечивости, может иметь смысл ещё и вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет» /23, с.340/. Это высказывание можно интерпретировать как выдвижение абсолютного стандарта приемлемости новой математической теории, обоснованности (рациональности) перехода к ней. Новая математическая теория должна быть принципиально непротиворечива и посредством неё должен осуществляться прогрессивный сдвиг проблем[25]. Такая установка Гильберта может быть охарактеризована как концепция сильных рациональных переходов в развитии математики. Гильберт даёт стандарты приемлемости, но строгих критериев, гарантирующих, что новая теория удовлетворяет этим стандартам, мы всё-таки не получаем. Чтобы утверждать это вовсе не обязательно расценивать известные результаты Гёделя, как перечёркивание программы Гильберта. Достаточно признать, что в ходе реализации этой программы и её модификаций не удалось получить общезначимых в среде математиков доказательств непротиворечивости большого числа содержательных математических систем. Что касается успешности (полезности) новой математической теории, осуществимости с её помощью прогрессивного сдвига проблем, то здесь, по всей видимости, остаётся в силе критика Куна, утверждавшего, что для того, чтобы осуществить такой сдвиг, необходимо время и вера в новую теорию. Это показывает, что помимо сильных рациональных переходов в математике допустимы и даже необходимы слабые рациональные переходы, когда переход к новой теории определяется не абсолютными, а ситуационными стандартами и критериями.

ГЛАВА 3