Явление нелинейности в развитии познания. Рефлексивные преобразования математической деятельности

Необходимое условие всякого познания – знание о незнании, так как процесс познания начинается с осознания самой проблемы, с осознания того, что мы что-то ещё не знаем и не понимаем. Вместе с тем, любой учёный находится, позволим себе это выражение, в океане неведения[33]. Его окружает огромное число проблем, которые он даже не может осознать, проблем, которые надолго или навсегда остаются для него лишь потенциальными. Неожиданные открытия – это, прежде всего, внезапная актуализация таких потенциальных проблем. На то, что многие открытия происходят подобным образом, обратили внимание ещё древние греки. И. Лакатос, в своей замечательной книге «Доказательства и опровержения» отмечал, что математические теоремы нередко бывают открыты задолго до того, как их истинность подтверждается строгим доказательством /65, с.17/. И это неудивительно, так как обычный, рациональный путь действия математика – это путь, когда догадка предшествует доказательству. Ведь «необходимо сначала знать, что ищешь» (там же). Однако часто древнегреческие математики по ходу дедукции случайно наталкивались на предложения, о которых они предварительно не догадывались. То есть, выполняя свои программы в области незнания, они, порой, неожиданно попадали в область неведения. Те побочные результаты, которые получались из доказательства теоремы или решения задачи, результаты, которые они непосредственно не искали, древнегреческие математики называли поризмами (Лакатос ссылается здесь на авторитет такого знатока древнегреческой математики как Th.L.Heath и комментарии последнего к «Элементам» Евклида). Эти поризмы появлялись, в определённом смысле, без каких-либо добавочных трудов и представляли собой, по выражению Прокла, нечто вроде плода, сбитого ветром (там же).

 Майкл Полани неслучайно сравнивал учёных с Колумбом /92, с.316-317/, который связал себя с верой, являющейся лишь очень небольшим, да к тому же и искажённым фрагментом истины. Но эта вера побудила Колумба действовать, как мы сейчас понимаем, в правильном направлении. Последствия нового знания, те побочные результаты, к которому оно ведёт, никогда не могут быть известны при его рождении. Открытие древнегреческими математиками иррациональных величин - такой же поризм, как открытие Колумбом Америки. Сознательный поиск иррациональных величин был для греков психологически невозможен. Особенно это касается пифагорейской математики с её культом числа, числовых отношений. И всё же на иррациональности натолкнулись именно пифагорейцы. Открытие иррациональности корня из двух традиция приписывает пифагорейскому математику первой половины V века до н.э. Гипассу. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональности при построении додекаэдера /39, с.82/. Достаточно убедительной является концепция венгерского историка математики А. Сабо /156/, в которой показывается, что подходы к открытию несоизмеримостей были намечены в процессе решения одной из проблем музыкальной теории пропорций. Как бы ни были удачно разрешены эти частные задачи, в результате открытия иррациональностей потерпела крах та философско-научная программа, в рамках которой они ставились, пифагорейская программа: найти ключ к Вселенной через исследование отношений целых чисел. Интерес к теории целых чисел пропал, и греки переключились на труднейшие проблемы, связанные с иррациональными величинами (творчество Евдокса, Теэтета). Известный отечественный специалист в философии науки Б.С. Грязнов в статье «О взаимоотношении проблем и теорий» в своё время убедительно показал /30, с.114-115/, что ситуация поризма, ситуация, в которой с помощью побочных результатов познавательной деятельности осуществляется выход в область неведения, является типичной ситуацией в практике познания. Она является проявлением нелинейности в развитии познания.

 Представление о нелинейности можно ввести следующим образом (см. статью М.А. Розова «О понятиях деятельности и активности при анализе познания» /105/). Возьмём два акта деятельности. Пусть первый акт деятельности был направлен на достижение результата Р1. Если второй акт деятельности использует Р1 для достижения результата Р2, то связь между такими актами называется непосредственной /105, с.186/. Цепь непосредственно связанных актов рассматривается как линейное развёртывание деятельности. Если же в процессе достижения результата Р1 был произведён побочный, с точки зрения первоначальной цели, результат ПР1, а второй акт деятельности использует для достижения Р2 именно результат ПР1, то два акта деятельности связаны нелинейно. В случае познавательной деятельности мы имеем дело с нелинейным развёртыванием познания. Побочные результаты оказываются важными и интересными. Они не что иное, как поризмы – открытия, с первоначальным отсутствием ясно понятой задачи, с этими открытиями связанной. Представления о кумулятивности в развитии математики, хорошо коррелируют с представлениями о линейном развёртывании математической деятельности. Однако, как мы видели, уже древним грекам было ясно, что далеко не всё в процессе познания является непосредственной реализацией некоторой цели. И если нас интересует реальное развитие математики, то мы не должны, конечно, сглаживать нелинейности такого развития в своих рациональных реконструкциях. Интересно, что фактически на данное положение обратил внимание ещё в первой трети ХХ века выдающийся знаток истории математики, автор последнего перевода «Начал» Евклида на русский язык Д.Д. Мордухай-Болтовский, который писал, что «… история проблемы должна быть не только историей решения её, но и историей её метаморфозы» /80, с.167/.

В конце 19-го века немецкий философ, основатель экспериментальной психологии Вильгельм Вундт опубликовал работу под названием «Этика» (1886). В ней им был выдвинут закон гетерогонии целей: «Воля всегда проявляется так, что результаты постоянно более или менее выходят за пределы первых мотивов воли». Этот закон привлёк к себе внимание Д.Д. Мордухай-Болтовского и им была написана даже специальная работа «Закон гетерогонии целей в истории математики» /80, с.476/. Данная работа пока остаётся неопубликованной, но и в опубликованных работах Д.Д. Мордухай-Болтовского можно найти ссылки на этот закон. Так, его статья «Лобачевский и основные логические проблемы математики» /80, с.166-177/ начинается со следующей формулировки закона Вундта: средство В для достижения какой-либо цели А превращается в новую цель В. Этим законом управляется эволюция целей. Как пишет Д.Д. Мордухай-Болтовский: «В своём пути к недостижимому человечество созидает, но всегда созидает не то, что оно желало создать. Созидающий не знает, для чего он создаёт» /80, с.166/. Прямой путь от С к А заменяется ломанным от С к В и от В к А, но последний путь из-за своей недостижимости забывается. «Сосредоточение внимания на пути к В ослабляет интерес к уходящему вдаль пути от В к А, и В овладевает психикой, стремясь сделаться самодовлеющей целью» (там же). Для Д.Д. Мордухай-Болтовского важна именно недостижимость цели А, так как именно из-за её недостижимости происходит переключение на цель В, бывшую до того лишь средством. Примерно таким способом химия возникла из алхимии. Примерно так произошла и первая настоящая революция в истории математики – открытие пифагорейцами иррациональных величин. Заметим, однако, что в математике закон гетерогонии целей нередко выполняется даже тогда, когда цель А оказывается вполне достижимой. Рассмотрим в связи с этим ещё один популярный сюжет из истории математики. Речь идёт о появлении в ней такого объекта, как группа.

Исследование групп оказалось в центре внимания современной алгебры. Более того, теорию групп называют ключом к современной алгебре и современной геометрии /123, с.179/. Стало возможным прямое приложение теории групп к другим областям научного познания (например, к физике элементарных частиц). Рождение самого понятия группы историки связывают с именем гениального французского математика Эвариста Галуа (1811-1832). Именно он впервые осознанно ввёл в математику объект, соответствующий этому понятию (у предшественника Галуа Лагранжа мы скорее сталкиваемся лишь с теоретико-групповыми идеями). Задача, которую при этом Галуа решал, была взята из области алгебраических уравнений. Для корней алгебраических уравнений первой и второй степени в IX веке арабскими математиками были найдены формулы, в которых участвовали четыре арифметических действия - сложение, вычитание, умножение, деление, а также использовалось извлечение корней. Выражение корней уравнения через его коэффициенты с помощью перечисленных операций стало называться (хотя и значительно позже) его решением в радикалах. Задача нахождения решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени в радикалах была успешно выполнена европейскими математиками в эпоху Возрождения. Но после этого, вплоть до XIX века все попытки решить в радикалах уравнения общего вида (т.е. с буквенными коэффициентами) пятой степени и выше терпели неудачу. "В конце концов, отчаяние перешло в растущую уверенность, что таких формул просто не существует, поэтому-то и не удаётся их найти" /33, с.97/. В 1824 году норвежский математик Н.Х. Абель, опираясь на идеи Лагранжа, связанные с перестановкой корней уравнения, доказал, что требуемых формул, которые бы решали в радикалах уравнения общего вида пятой и выше степеней действительно не существует. Однако при этом было ясно, что многие конкретные уравнения сколь угодно высокой степени вполне могут в радикалах решаться. "Поэтому сразу же встал вопрос о полном решении задачи - нахождения критерия разрешимости уравнения в радикалах, то есть необходимого и достаточного условия, которое по коэффициентам любого заданного уравнения позволяло бы судить - решается ли уравнение в радикалах или нет" /33, с.98/. Этот критерий и дал Эварист Галуа. Мы не будем здесь приводить строгую формулировку критерия, но важно, что он целиком зависит от введённого Галуа нового математического объекта - группы. Группу Галуа можно построить по любому конкретному уравнению и строение её однозначно отвечает на вопрос - разрешимо ли данное уравнение в радикалах или нет. В последующей деятельности математиков, как мы уже говорили, группа из средства решения частной задачи превратилась в самостоятельный объект исследования, референт новой математической теории - теории групп (важнейшие здесь имена - Камил Жордан, Феликс Клейн, Софус Ли). В этом примере не менее ярко, чем в примере с открытием иррациональных величин, проявляет себя закон гетерогонии целей. Галуа при этом вовсе не заблудился в области недостижимого. Наоборот, он блестяще справился с поставленной перед собой задачей. И, тем не менее, промежуточная цель В (создание теории групп) со временем приобрела самодовлеющую значимость. Поэтому, возможно, психологическая трактовка закона гетерогонии целей не совсем оправдана. Скорее, когда мы занимаемся анализом познавательной деятельности, с помощью этого закона выражается не психологический, а гносеологический факт. Факт нелинейного характера развития познания.

В предыдущем параграфе значительное место мы уделили такому яркому случаю проявления нелинейности в развёртывании математического знания, как возникновение гиперболической геометрии. Механизмом переключения с одной линии развития математики на другую служило рефлексивное преобразование математической деятельности. Представление о рефлексивных преобразованиях было разработано М.А. Розовым в 80 х годах в рамках его теории социальных эстафет. Его интересовала проблема появления нового знания, причём, прежде всего с точки зрения выявления механизмов получения научных новаций. В качестве таких механизмов им и были рассмотрены рефлексивно-симметричные преобразования. Эти преобразования тесно связаны с явлением рефлексивной симметрии, которое подробно разбирается во многих работах М.А. Розова (см., например, /102/, /103/, /104/).

В самом общем смысле рефлексия – это направленность человеческой души на саму себя. В академической традиции, идущей от Локка, под этим понятием обычно понималось такое обращение сознания на себя, которое можно было бы трактовать как мышление о мышлении. Рефлексия тогда будет являться особым оперированием субъекта с собственным сознанием, порождающим идеи об этом сознании. Тем самым рефлексия отличается от просто наблюдения за собственной психической жизнью, процессами своего мышления, т.е. от интроспекции. Внешний опыт, базирующийся на «ощущениях», отделяется от внутреннего опыта, базирующегося на человеческой способности анализировать своё собственное мышление. Понятие рефлексии можно рассмотреть и с несколько другой точки зрения. Мышление характеризуется тем, что оно изменяет прежние и создаёт новые смысловые структуры. Это может происходить с той или иной степенью осознания мыслящим субъектом данных процессов. Если изменение прежних и создание новых смысловых структур инициируется сознательно, - это мы и будем называть рефлексией. Переходя на общий уровень рассмотрения, можно говорить о рефлектирующих системах /101, с.33-34/. Это такие системы, которые могут оценивать собственное состояние и, на основе этого, инициировать его изменение. Такой рефлектирующей системой является человек, когда своим вниманием он запускает механизмы изменения содержания собственного мышления, изменяя тем самым состояние своего сознания. Непосредственным следствием изменения состояния сознания может быть изменение поведения человека, изменение характера его деятельности. Рефлексия тогда выступает как преобразующий механизм деятельности.

Нельзя понять деятельность, не фиксируя цель. В одном из рассказов Честертона все наблюдатели были уверены, что человек ловит рыбу, а он был убит и закреплён в позе удильщика /81, с.211/. Действительно, вот мы видим человека, сидящего с удочкой на берегу. Час сидит, два сидит… Так можно ли сказать, что он ловит рыбу? А может быть он просто отдыхает? Или проигрывает в уме шахматную партию? Или занят чем-то другим? Таким образом, целесообразность деятельности является её важнейшей характеристикой. Можно сказать, что деятельность – это действия с фиксированной целью[34]. Одни и те же человеческие действия превращаются в разные акты деятельности сопровождающими их актами рефлексии, выделяющими в действиях определённую задачу (цель). Поэтому деятельность есть продукт рефлексии. Человек подходит к окну и опускает шторы /102, с.225/. Может быть, он хочет, чтобы яркое солнце не слепило ему глаза; может быть, его волнует то, что он виден из улицы или из окон соседнего дома; может быть, он боится, что в комнате скоро станет слишком жарко и т.п. Осознавая свои действия различным образом, он осуществляет всякий раз иную деятельность. Сами действия остаются инвариантом. Связанные же с ними виды деятельности М.А. Розов, в подобных случаях, называет попарно симметричными (там же). Используя понятие рефлексии в его узком значении, связанном только с целеполаганием, М.А. Розов предложил называть рефлексивными такие преобразования одной деятельности в другую, которые инициируются различными осознаниями наших целевых установок (или, другими словами, сменой нашей рефлексивной позиции) /104, с.88/[35]. Если в результате таких преобразований ничего не меняется, кроме самой целевой установки (рефлексивной позиции), то М.А. Розов называет их рефлексивно-симметричными (см. /102, с.222-237/, /103, с.167-171/, /104, с.87-90/). Таким образом, рефлексивно-симметричными будут являться два акта деятельности, которые отличаются друг от друга только осознанием результата и взаимно друг в друга преобразуются путём изменения нашей рефлексивной позиции /102, с.225/.

На примере с возникновением гиперболической геометрии мы уже видели, что рефлексивные (рефлексивно-симметричные) преобразования способны привести к изменению направленности математической деятельности. Предположим, что осуществляя некоторые действия, мы рассматриваем результат «А» как основной, а результат «Б» как побочный. Смена рефлексивной позиции может заключаться в том, что «А» и «Б» меняются местами, т.е. «Б» становится основным продуктом, ради которого осуществляются действия, а «А» переходит в разряд побочных результатов /102, с.225/. Если теперь примем, что «Б» – группа Галуа, а «А» – соответствующие уравнения, то смена рефлексивной позиции будет тождественна смене референции знания. Деятельность Галуа можно описать двумя попарно-симметричными способами: как решение проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и как введение им в математику понятия группы. Фактически изменение рефлексивной позиции было осуществлено не Галуа, жизнь которого оказалась очень коротка, а другими математиками 19 века. Напротив Лобачевский, Бойяи смогли сами изменить свою рефлексивную позицию, осознать смену референции знания, перейти к исследованию новой теоретической системы.

То, что рефлексивные преобразования постоянно обогащают математику новыми объектами исследования и, по существу, являются универсальным механизмом новаций, можно показать на многих примерах. Так, в частности, без их участия не обошлось при возникновении такого современного направления математических исследований, как фрактальная геометрия. Как же фракталы появились в математике? В.В. Тарасенко пишет /127, с.421/, что введение фракталов в геометрию есть не что иное, как создание «устойчивых практик узнавания фрактала как в феноменах математики (геометрических множествах, решениях нелинейных уравнений), так и в феноменах – конструктах прикладных теорий (географии, лингвистики, астрофизики)». С середины 19 века геометрические фрактальные предметы уже существовали как предмет исследования, но общего понятия фрактала ещё не было. Не было общей идеологии, связывающей в единое представление такие, казалось бы, не корреспондирующие между собой вещи, как, например, множество Кантора и чертёж побережья Британии. Мандельброт вводит термин «фрактал» и описывает способы отождествления (узнавания) различных математических и природных форм, как фрактальных /127, с.422/. Иными словами, он совершает рефлексивно-симметричное преобразование! В.В. Тарасенко отмечает (там же), что «Мандельброт не «изобретал» каких-то абсолютно новых формализмов или теорий, он, скорее не «первооткрыватель», а «перворассматриватель» – «первый-по-новому-рассмотритель»: его работа заключалась в перестройке перцептивных схем и создании языка объяснения новых предметностей». Такие «монстры» классического анализа, как нигде не дифференцируемые непрерывные функции предстали в фрактальной геометрии в качестве вполне законного объекта исследований. При этом введение нового объекта в математику происходит по существу без его формального определения[36], с помощью эстафет оперирования с ним. В.В. Тарасенко пишет /127, с.423/, что «определение для категории фрактала особо и не нужно после того, как родилась интерсубъективная практика применения категории».

Рефлексивные преобразования, создавая новый мир объектов исследования, меняют основания для математической деятельности. Происходит радикальная смена «математической практики», - возникают не только новые объекты, но и новые задачи, проблемы, язык, методы. Изменение же правил и норм деятельности есть изменение её рациональности. Поэтому рефлексивные преобразования могут выявлять собой границы рациональности, служить связующим звеном между различными нормативными системами математической деятельности.