Гиперболическая геометрия – логика открытия

Со времен Аристотеля логическими называют суждения или умозаключения, носящие характер некой вынужденности. В логических суждениях заключена необходимость, запрещающая нам мыслить иным образом, приходить к иному заключению. Если все люди смертны, а Сократ – человек, то Сократ смертен. Иного не дано. Развитие логики является во многом попыткой выяснить природу подобной необходимости. В свою очередь, в сочинениях Пойя, Поппера и Лакатоша можно встретить такое понятие, как «логика открытия». Правда, каждый из перечисленных авторов вкладывает в него свой смысл. Так, у Поппера «логика открытия», как ни странно, связана не с контекстом открытия, а с контекстом обоснования, с процедурами проверок уже созданных теорий. Пойя ближе к классическому пониманию «логики открытия» как индуктивистской логики. Для Лакатоса же «логика открытия» – это ситуационная логика. Как и любая логика, она носит характер вынужденности. Но эта вынужденность эвристическая. Это такая последовательность шагов, которую достаточно произвести, чтобы сделать переход от одной системы знаний к другой [50]. Переход к новой системе знания не запрограммирован, он может происходить разными путями. Но в данной конкретной ситуации, в которой оказывается учёный, - определённый уровень знания, определённый круг проблем, культивируемый в научном сообществе, определённый набор методов и т. д. – часто переход к новой системе знаний является узенькой тропкой, разглядеть которую оказываются способны лишь самые выдающиеся учёные. При этом им приходится ориентироваться на ситуационные, слабые критерии рациональности. Чтобы прийти к открытию, они эвристически вынуждены поступать определённым образом. Хотя никакой формально логической необходимости в их действиях, конечно, нет.

Один из создателей неевклидовой геометрии Янош Бойяи писал своему отцу: «Из ничего я создал новый мир». Гаусс, Бойяи и Лобачевский несомненно построили целый новый мир, новый мир, который до них не был ведом, к которому никто до них не проложил путей[51]. Но, конечно, они построили его не из «ничего». Можем ли мы здесь говорить о некоторой ситуационной логике, о «логике открытия», в том смысле, в каком этот термин употреблял Имре Лакатос? Для ответа на этот вопрос необходимо детально, насколько это возможно, проследить, что позволило данным учёным прийти к созданию совершенно новой математической теории – гиперболической геометрии. Мы уже останавливались на том (см. параграф 3.1.), что открытие неевклидовой гиперболической геометрии было следствием многовековых усилий по доказательству пятого постулата Евклида – постулата о параллельных линиях. При этом, начиная с 18 века, основным способом, которым пытались освободить геометрию от постулата о параллельных, было доказательство от противного. Одной из эквивалентных формулировок постулата являлось утверждение, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым (гипотеза прямого угла). Поскольку утверждение о том, что сумма углов в треугольнике больше двух прямых (гипотеза тупого угла) считалось опровергнутым[52], то утверждение о том, что эта сумма меньше двух прямых (гипотеза острого угла) принималось в качестве допущения, противоположного постулату. Выводя из него необходимые следствия, стремились прийти к противоречию с уже установленными предложениями, тем самым, доказывая постулат о параллельных. Стандартным является рассматривать возникновение гиперболической геометрии как результат «простого удлинения доказательных рассуждений» от противного /8, с.77-78/, когда учёные, чтобы доказать равенство суммы углов в треугольнике двум прямым, пытались опровергнуть гипотезу, что их сумма меньше двух прямых, но вместо этого внезапно осознали, что имеют дело с новой теоретической системой.Мы встречаем здесь рефлексивно-симметричное преобразование в самом чистом виде. Выполняя работу по опровержению гипотезы острого угла, учёные в то же время незаметно для себя открывали новую математическую теорию. Поставленная цель оказалась недостижимой (как того и требует закон гетерогонии целей в интерпретации Д.Д. Мордухай-Болтовского), но полученные при попытке её достижения результаты оказались значимы в совершенно ином контексте.

То, что рефлексивные преобразования рассматриваемого типа лежат в основе генезиса неевклидовой геометрии, не вызывает никаких сомнений. И Гаусс, и Лобачевский, и Бойяи начинали свои исследования с попыток опровержения гипотезы острого угла. Но, как мы постараемся показать, мнение о том, что для открытия новой геометрии им понадобилось лишь «удлинить доказательные рассуждения» от противного и осознать значение «диковинной конструкции» - слишком упрощённо. Многие теоремы, полученные в результате простых рассуждений от противного, вошли в состав геометрии Лобачевского-Бойяи, но они не были тем центром, вокруг которого она кристаллизировалась. Саккери и Ламберт (мы их уже упоминали в параграфе 3.1.) впервые давшие развёрнутые попытки доказательства постулата о параллельных с помощью опровержения гипотезы острого угла, не смогли осуществить рефлексивного преобразования своей деятельности в сторону создания новой математической теории не только в силу каких-либо субъективных причин, но и по вполне объективным обстоятельствам. Новая теория вовсе не вывелась внутри старой, как птенец из яйца, в результате рассуждений от противного, а лишь использовала эти рассуждения, как строительный материал для построения своего здания. Саккери и Ламберт заблудились, идя по дорожке этих рассуждений. Чтобы мог сработать механизм рефлексивного преобразования, необходимо было не просто механически удлинять цепочки выводов, а натолкнуться на вполне определённые результаты, так и оставшиеся для них недостижимыми. Рассмотрим это более подробно.

Итальянский математик иезуит Саккери издал в 1733 году замечательную работу "Евклид, очищенный от всех пятен; опыт установления самых первых начал всей геометрии". Она пользовалась определённым успехом у современников, но ко времени Лобачевского была практически забыта. Вопрос о постулате о параллельных занимал в этой книге одно из центральных мест. Саккери первым в истории математики приходит к мысли, что для доказательства постулата о параллельных достаточно опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе он посвящает обширное исследование, занимающее более 80 страниц. После ряда подготовительных рассуждений, которые Саккери проводит с безупречной строгостью, он показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Таким образом, Саккери приходит к тем же геометрическим образам, с которых столетие спустя, начнёт развёртывать свою геометрическую систему Лобачевский (как известно, Лобачевский не был знаком с работами Саккери). Но поглощённый своей задачей опровержения гипотезы острого угла, Саккери теоремой XXXI, внезапно обрывает «тонкую нить безупречных рассуждений», делая из полученных положений вывод о противоречивости такой геометрической конструкции. Саккери допускает элементарную ошибку, связанную с некорректными утверждениями о бесконечно удалённой точке. Очевидно, чувствуя слабость этих утверждений, он пытается дать ещё одно опровержение гипотезы острого угла, но снова впадает в ошибку, на этот раз связанную с весьма характерной для 18 века неточностью применения метода бесконечно-малых[53]. Заканчивая свои рассуждения, итальянский математик не смог скрыть своего удивления по поводу тех усилий, которые ему пришлось предпринять, прежде чем, как ему казалось, опровергнуть рассматриваемую гипотезу. Если гипотеза тупого угла опровергалась довольно просто ("при гипотезе тупого угла дело ясно, как свет божий" (цит. по /41, с.147/)), то опровергнуть гипотезу острого угла удаётся только с помощью длинной цепи тончайших рассуждений. Итак, Саккери выводит из сделанного допущения около 40 теорем, из которых 2 приводят к кажущемуся противоречию с предыдущими предложениями. Оставшиеся же теоремы, по существу, являются утверждениями гиперболической геометрии Лобачевского-Бойяи. И, тем не менее, никто из исследователей работ Саккери и не пытается говорить, что итальянский математик, пусть сам того и не сознавая, открыл новую геометрическую систему. В лучшем случае речь идёт о предвосхищении начал неевклидовой геометрии. Заключается ли дело здесь лишь в том, что Саккери запутался и не продолжил цепочку выводов? Анализ исследований И. Г. Ламберта, шедшего по стопам Саккери, показывает, что не всё так просто.

Немецкий философ и математик И.Г. Ламберт в середине шестидесятых годов 18 века, занимаясь Евклидом, заинтересовался и теорией параллельных линий. Уже после его смерти, в литературном архиве Ламберта была найдена посвящённая этому вопросу статья. Она никогда им не публиковалась, так как те результаты, к которым немецкий философ в ней пришёл, видимо, не могли его удовлетворить /41, с.148/. Ламберт в своей работе также очень подробно останавливается на гипотезе острого угла. При этой гипотезе сумма углов в треугольнике, как мы говорили, меньше двух прямых. Разница между двумя прямыми углами и суммой углов в треугольнике называется дефектом треугольника. Ламберт показывает, что величина дефекта треугольника пропорциональна его площади. А отсюда прямо вытекает, что существует треугольник с предельной, самой большой площадью, т.е. площадь треугольника не может быть сколь угодно велика. Более того, из этого следует, что должна существовать абсолютная единица длины, определяемая чисто геометрически, без помощи эталона. Её можно было бы определить, например, с помощью высоты предельного равнобедренного треугольника, которая больше высоты всякого другого равнобедренного треугольника. Подобия и пропорциональности фигур тогда не существовало бы вовсе. Ни одна фигура не могла бы быть представлена иначе, как в абсолютной своей величине. Указывая ряд абсурдных, с точки зрения наших представлений, следствий, к которым приводит гипотеза острого угла, Ламберт сохраняет достаточную ясность мышления, чтобы заметить, что все они не дают логического доказательства, не вступают в противоречие ни сами с собой, ни с какими-либо предложениями абсолютной геометрии. Его поражает стройность выводов, но он не может понять её причины. Перед Ламбертом предстало богатство, с которым он не знал, что делать и поэтому был вынужден прервать свои исследования. Ламберт не впал в заблуждение по поводу полученных результатов, подобно Саккери, но не смог продвинуться и дальше. Он останавливается примерно на том же рубеже, что и Саккери. «Простое удлинение доказательных рассуждений» завело его, как и итальянского математика, в тупик. Им обоим чего-то не хватало для продвижения вперёд, для них обоих был невообразим отказ от парадигмы Евклида. Как писал выдающийся знаток научного наследия Лобачевского В.Ф. Каган, Саккери и Ламберт «были беспомощны перед полученными ими результатами» /42, с.254/.

 Любопытна фигура корреспондента Гаусса Фердинанда Швейкарта. Правовед по образованию, Швейкарт на досуге охотно занимался математикой. Идя по пути Саккери и Ламберта, по пути планомерного вывода всех следствий из гипотезы острого угла, Швейкарт также пришёл к исходным положениям гиперболической геометрии. Но в отличие от них, он, как это видно из его заметки, предназначенной для Гаусса /41, с.470-471/, прямо признавал и существование иной, неевклидовой геометрии. По Швейкарту, существует двоякая геометрия: геометрия в узком смысле слова и звёздная (астральная). Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что сумма трёх их углов не равна двум прямым. Далее он упоминает примерно те же положения астральной геометрии, что мы находим и у Ламберта. Гипотеза Швейкарта была остроумна, но никаких серьёзных внутриматематических аргументов в пользу существования альтернативной геометрической системы он предложить не смог. Лишь «на берегах Волги и в глуши Венгрии в двадцатых годах XIX столетия получил новое и неожиданное решение вопрос, который более чем за 2000 лет перед этим был поставлен учёными Афин и Александрии» /17, с.124/. Что же позволило Лобачевскому и Бойяи пройти до конца по тому пути, по которому шли, хотели они того или не хотели, Саккери, Ламберт, Швейкарт и другие?

Даже такой выдающийся знаток творчества Лобачевского, как В.Ф. Каган описывает создание русским математиком неевклидовой геометрии в выражениях, не слишком отличающихся, по сути, от стандартной точки зрения, высказанной А.Г. Барабашевым в приведённой нами в параграфе 3.1. цитате. Так он пишет: "Гений Лобачевского сказался в том, что он не поддался … предубеждению; напротив, смело развивая следствия, вытекающие из отрицания пятого постулата, он создал новую геометрическую систему … Он имел решимость отказаться от связующей силы сложившихся геометрических представлений …" /42, с.152/. Но откуда смелость и решимость при движении в никуда? Откуда воля продолжать движение? Несомненно, в самом начале работы над проблемой постулата о параллельных перед Лобачевским предстали те же разрозненные диковинные результаты, которые мы находим, например, в сочинении Ламберта. Значит был какой-то момент, когда эти странные результаты оказались осознаны им как часть единого целого, новой теоретической системы. Лобачевский увидел реальные контуры новой геометрии, новой целостности. Деятельность по развитию этой системы стала казаться ему рациональной настолько, чтобы отважиться противопоставить свои взгляды мнению подавляющей части математического сообщества.

Начало серьёзных размышлений великого русского математика, относящихся к основаниям геометрии, по-видимому, почти совпадает с началом его педагогической деятельности. До нас дошли записи лекций по элементарной геометрии, читанные Лобачевским студентам Казанского университета с 1815 по 1817 год (так называемые "Записки Темникова"). Каждый год, при изложении своего курса, Лобачевский давал различные способы обоснования теории параллельных линий. В то время интерес к теории параллельных был особенно велик. Это было связано, главным образом, с выходящими тогда многочисленными переизданиями знаменитого учебника геометрии Лежандра. В этих переизданиях Лежандр предпринял многочисленные попытки дать доказательство пятого постулата Евклида. Но, в конце концов, они оказывались недостаточными. Неудивительно, что Лобачевский тоже попытался испробовать свои силы на этом поприще. В курсе 1815 года Лобачевский дал оригинальное, в духе Лежандра, доказательство постулата о параллельных. Но уже к следующему году он в нём разочаровался и попробовал изложить теорию параллельных с помощью переосмысления самого понятия параллельности. При этом он исходил из понятия о направлении, как основном и пытался определить параллельные линии, как простирающиеся в одном направлении. Но и это его не удовлетворило, и в 1817 году он дал ещё одно доказательство, основанное, на этот раз, на рассмотрении бесконечных частей плоскости. Таким образом, Лобачевский постепенно разочаровался не только в своих попытках доказательства постулата о параллельных, но и, видимо, в попытках его доказательства вообще. Постепенно Лобачевский углубился в размышления об основаниях геометрии в целом. В тех же тетрадях лекций по геометрии, в которых мы встречаем различные попытки доказательства постулата Евклида, мы находим и различные попытки обоснования геометрии /17, с.134-136/. Лобачевский пытался дать себе отчёт в тех первичных понятиях, из которых исходит геометрия. Так в одной из тетрадей геометрия определяется, как наука о пространстве: "геометрическое тело есть часть полного пространства, простирающаяся во все стороны, но вместе с тем ограниченная". Поверхность есть граница тела, граница поверхности есть линия, граница линии - точка. Далее Лобачевский делает попытку определить свойства пространства. В другой тетради он уже избегает слова "пространство", но вводит вместо него понятие "протяжение". Именно протяжения, по мнению Лобачевского, составляют предмет геометрии. Соответственно, протяжение одного измерения называется в геометрии линией, а протяжение двух измерений - поверхностью. Связь же между протяжениями различных измерений устанавливается движением. Линия происходит от движения точки, поверхность - от движения линии, а тело - от движения поверхности. Наконец, в третьей тетради Лобачевский вместо понятия "протяжение" вводит, как основное, понятие "прикосновение тел". Через прикосновение двух тел Лобачевский определяет поверхность, линию, точку. И такой подход к основаниям геометрии оказался у Лобачевского окончательным. Его он проводит во всех своих зрелых работах. Этот подход наиболее соответствует тем гносеологическим установкам, которых Лобачевский придерживался в отношении геометрии. Для него геометрия - опытная наука. И он стремится рассматривать её как учёный-эмпирик. Основными понятиями геометрии не могут быть ни пространство, ни протяжение, ни поверхность, ни линия и т.п., потому что они существуют только в воображении. Ясное же понятие, по мнению Лобачевского, может быть соединено только с теми словами, которым можно указать прямые референты в реальном мире. Поэтому в предисловии к "Новым началам геометрии…" /71/ он формулирует следующую точку зрения: "В природе нет ни прямых, ни кривых линий, нет плоскостей и кривых поверхностей, в ней находим одни тела, так что всё прочее создано нашим воображением, существует только в теории". Он предлагает считать основным объектом геометрии тело, а основными отношениями между телами - их прикосновение. Все остальные понятия должны быть определены через эти основные.

Таким образом, главным злом в основаниях геометрии Лобачевский, в конце концов, стал считать "темноту", "отвлечённость" начальных геометрических абстракций и направил свои усилия на то, чтобы возвратиться от них к тем понятиям, которые "непосредственно соединены с представлениями тел в нашем уме, к которым наше воображение приучено, которые можно поверять в природе прямо, не прибегая наперёд к другим, искусственным и посторонним" /71, с.12/. Возвратимся теперь к постулату о параллельных. Вдумываясь, всё более и более в начальные понятия геометрии, Лобачевский начал, по-видимому, отчётливо сознавать, что неудачи в доказательстве пятого постулата не случайны. Он пришёл к выводу, что в самих понятиях, с которыми имеет дело геометрия, ещё не заключается той истины, которую хотим доказать /71, с.147/. Поэтому Лобачевский начинает «Пангеометрию» следующими словами: «Понятия, на которых основывают начала геометрии, недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трёх углов прямолинейного треугольника равна двум прямым... Недостаточность начальных понятий для доказательства приведённой теоремы принудила геометров допускать вспомогательные положения, которые как ни просты кажутся, тем не менее произвольны и следовательно допущены быть не могут» /73, с.137/. Итак, постулат Евклида не обоснован ни логически, ни эмпирически! Постепенно Лобачевский понял ограниченность эмпирического метода в геометрии. Поскольку геометрические свойства пространства зависят от физических свойств тел, могут меняться с изменением этих свойств, то не так уж и значима, как стал считать русский математик, аргументация, основанная на совпадении следствий из евклидовой теории параллельных с результатами самых точных измерений. Ведь «за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений» /71/ может быть действительной совсем иная геометрия. Поэтому по-прежнему оставались две возможности – гипотеза прямого и гипотеза острого угла. Хотя, скорее всего, Лобачевский и более многих других ясно сознавал, что обе они произвольны и необоснованны. Пойти дальше Саккери и Ламберта гениальный русский математик смог лишь после одного неожиданного открытия, которое позволило ему резко изменить направление своего исследования.

Впервые новая теория параллельных была публично изложена Лобачевским 11 февраля 1826 года в докладе, прочитанном на заседании физико-математического отделения Казанского университета. Текст доклада до нас не дошёл, но известно, что все его основные идеи вошли в первое сочинение Лобачевского по геометрии, напечатанное при его жизни - «О началах геометрии» (1830). В этой работе, как Саккери и Ламберт, Лобачевский рассматривает следствия гипотезы острого угла. Но в основном лишь постольку, поскольку это ему необходимо для обоснования удивительного открытия: геометрия, возникающая при принятии гипотезы острого угла, заключает в себя собственно евклидову геометрию как частный случай! «Другое предположение и одно, которое до сих пор допускали Геометры, - пишет Лобачевский, - заключается также в этом общем (гипотезе острого угла – М.В.), с тем ограничением, что линии должно рассматривать бесконечно малыми...» /72, с.199/. Поэтому геометрия Евклида является предельным случаем новой геометрической системы. Итак, работа по обоснованию евклидовой геометрии привела к результату, который прямо показывает на то, что за рамки этой геометрии был осуществлён выход. Работа ведётся уже в какой-то иной математической программе. Таким образом, существовала некоторая поворотная точка, после которой стало абсолютно ясно, что, развивая гипотезу острого угла, мы имеем дело уже не со странными разрозненными фактами, а с фрагментами иной геометрии. После этого почти с необходимостью должно было произойти, говоря языком психологии, переключение гештальта.

Для того чтобы рассмотреть этот вопрос подробнее, обратимся ещё к одной работе Лобачевского. Речь идёт о небольшой работе «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (1840). В ней в наиболее ясной и логически совершенной форме гениальным русским математиком были изложены идеи новой геометрии. По выражению В.Ф. Кагана, она является «одним из наиболее блестящих перлов математической литературы» /41, с.277/. Именно по ней Гаусс, а вслед за ним и другие западные математики, познакомились с творчеством Лобачевского.

По содержанию «Геометрические исследования...» можно разбить на три основные части. В первой части (главы I-V) Лобачевский даёт перечень некоторых положений абсолютной геометрии[54], которые он будет в дальнейшем использовать. После этого он встаёт на точку зрения гипотезы острого угла и выводит из неё ряд следствий. Во второй части (главы VI-VIII) он после необходимых подготовительных предложений вводит понятия о предельной линии и предельной поверхности и доказывает теорему, что геометрия предельной поверхности формально совпадает с евклидовой планиметрией. Наконец, в третьей части (главы IX-XI) Лобачевский излагает неевклидову тригонометрию. Неевклидова тригонометрия завершает синтетическое развёртывание новой геометрической системы. «После этого, - пишет Лобачевский, - всё прочее в геометрии будет уже аналитикой» /72, с.260/. Таким образом, переход от первой части, части, развивающей новую геометрию до уровня Саккери и Ламберта, к третьей части, в которой выводятся ключевые формулы неевклидовой тригонометрии, предполагает вторую часть, в которой впервые появляются геометрические образы, которых не существует в евклидовой геометрии – предельные линии и поверхности. Именно с этими образами связано то «возрождение евклидовой планиметрии в недрах неевклидовой геометрии, к которому с различных точек зрения пришли все (курсив мой – М.В.) творцы неевклидовой геометрии» и которое «составляет наиболее важный момент в её развитии» /42, с.405/.

Нам сложно по изданным геометрическим работам Лобачевского в точности судить о том, как он пришёл к открытию предельных поверхностей. А каких-либо набросков его геометрической системы, могущих осветить интересующий нас вопрос, по-видимому, не сохранилось. Зато до нас дошли многочисленные рукописные тетради Бойяи (см. /17, с.120-121/). Из них видно, что ещё в 1820 году он пришел к мысли рассматривать круг с бесконечно большим радиусом и поставил теорию параллельных линий в связь с вопросом, есть ли этот круг (т.е. предел, к которому стремятся круги при увеличении радиуса до бесконечности) прямая или же иная линия. Видимо он считал, что какая-то из этих альтернатив ведёт к опровержению гипотезы острого угла. Три года должно было пройти прежде, чем эта гениальная мысль позволила ему начать обработку «неевклидовой геометрии». И ещё два года потребовалось для того, чтобы закончить её. Попробуем на интуитивном уровне реконструировать возможный здесь ход рассуждений.

Возьмём некоторую совокупность параллельных прямых линий собственно евклидовой геометрии[55]. Проведём линию, к которой все эти параллельные будут расположены под прямым углом (ортогонально). Эта линия будет называться ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Очевидно, что ортогональной траекторией пучка параллельных прямых в евклидовой плоскости является прямая линия. Это логическое следствие пятого постулата Евклида. Действительно, проведём прямую линию ортогонально одной из линий пучка параллельных, тогда, в силу пятого постулата, она будет ортогональна всем этим линиям. А так как к одной точке нельзя опустить два различных перпендикуляра, то прямая линия будет единственной ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Если П – постулат о параллельных, а А – утверждение об ортогональности прямой линии пучку параллельных прямых, то в собственно евклидовой геометрии П имплицирует А (П → А). Кроме того, А, в свою очередь, имплицирует П (А ® П). Если пучок параллельных линий в евклидовой плоскости ортогонален некоторой прямой, то любая прямая, которая не была бы ей ортогональна, в то же время не будет параллельна ни одной линии из этого пучка. Она пересечёт его, что эквивалентно пятому постулату Евклида. Но что будет ортогональной траекторией пучка параллельных прямых при принятии гипотезы острого угла, т. е. при отрицании П (при П)? В этом случае параллельные прямые неограниченно сближаются. Поэтому их можно представить, как сходящиеся в бесконечно удалённой точке. Пучок таких параллельных можно рассматривать как радиусы окружности с бесконечно удалённым центром. Несомненно, этот образ посещал Бойяи в 1820 году. Но обратимся снова к собственно евклидовой геометрии. Рассмотрим в ней окружность и пучок прямых линий, проходящих через её центр. Эти прямые будут ортогональны окружности. Она будет для них ортогональной траекторией. Будем теперь рассматривать окружность всё большего и большего радиуса. При радиусе окружности, стремящемся к бесконечности, любая конечная её дуга будет сколь угодно близко приближаться к соответствующему отрезку прямой линии, т.е. дуги, как бы «выпрямляются», их кривизна может быть сделана меньше любой заданной величины. В этом смысле говорят, что в евклидовой плоскости окружность с увеличением радиуса неограниченно приближается к прямой линии. Такая прямая будет называться предельной линией. Поэтому предельной линией называют и ортогональную траекторию пучка параллельных прямых неевклидовой геометрии. Но будет ли она прямой линией и здесь? Положительный ответ на этот вопрос приводит к опровержению гипотезы острого угла. Действительно, в этом случае было бы справедливо, что отрицание П имплицирует А (П → А). Тогда получается, что имеет место одновременно (П ® А) и (А ® П). По закону транзитивности[56] имеем, что отрицание постулата о параллельных имплицирует его утверждение (П ® П). Из закона Клавия[57] вытекает доказанность постулата о параллельных. И цель многовековых усилий достигнута.

 Если это и был замысел Бойяи, то он потерпел крушение. Предельной линией пучка параллельных прямых в случае принятия гипотезы острого угла является не прямая линия, но некоторая кривая – орицикл, как её называет Лобачевский. Но здесь основателей неевклидовой геометрии и ждало неожиданное открытие. Если предельную линию – орицикл вращать вокруг одной из её осей, то получается своеобразная поверхность, которую Лобачевский называет предельной сферой или просто предельной поверхностью. Оказалось, что в пространстве Лобачевского предельная поверхность несёт на себе двумерную евклидову геометрию! Когда мы отказываемся от евклидовой геометрии на плоскости, она не прекращает своего существования. И хотя она не выполняется на гиперболической плоскости (плоскости пространства Лобачевского), но она переходит на другую поверхность – на предельную поверхность. Сумма углов треугольника на предельной поверхности всегда равна двум прямым. На ней будет справедливо каждое предложение евклидовой планиметрии, если под прямой разуметь предельную линию.

Итак, на некотором частном фрагменте геометрии, возникающей при принятии гипотезы острого угла, справедлив пятый постулат Евклида! Отсюда и вытекает, что новая геометрическая система является более общей, по сравнению с собственно евклидовой геометрией, включает её в себя, как частный случай. Так впервые был осуществлён радикальный выход из евклидовой программы развития геометрии. До этого тень александрийского математика неотступно висела почти над каждым творческим усилием европейских геометров. После этого стало эвристически оправданным исследование «странных» геометрических фактов, так как они были поняты, как факты новой, более общей геометрии. Но замечательно и то, что открытие предельных поверхностей придало не только психологическую уверенность первооткрывателям новой геометрии, но и ключ к её дальнейшему развитию.

Вместе с восстановлением евклидовой геометрии в неевклидовом пространстве сохраняются и все средства евклидовой планиметрии и, прежде всего, её тригонометрия. С древности существовал известный приём для построения тригонометрии сферы. В евклидовом пространстве мы, исходя от плоскости, надлежащей проекцией её на сферу получаем сферическую тригонометрию. Подобным образом действует в нашем случае и Лобачевский. Проектируя «предельные треугольники» на плоскость, он приходит к тригонометрии прямолинейного треугольника в гиперболической плоскости. Именно после этого «всё прочее в геометрии стало уже аналитикой». Располагая тригонометрией гиперболической плоскости, Лобачевский получил возможность построить в своей «воображаемой геометрии» аналитическую геометрию, дифференциальную геометрию, вести интегральные вычисления – довести созданную им геометрию до тех высот, до которых в течение трёх тысячелетий поднималась классическая геометрия Евклида /42, с.276-277/.

Если учесть, что Гаусс в его письме отцу Яноша Бойяи от 6 марта 1832 года прямо пишет о том, что он уже давно не просто пришёл к тем же результатам, что и его сын, но и тем же самым путём /17, с.121/, то можно со всей ответственностью утверждать, что в тех исторических условиях существовала вполне определённая, жёсткая логика открытия гиперболической геометрии, хотя это и не была логика математического вывода.

 

4.3. Борьба Н. Лобачевского и Г. Кантора за преодоление социокультурных ограничений. Признание их теорий научным сообществом

 

Возникновение любой новой математической теории связано с появлением нового мира объектов исследования, т. е. с появлением новой референции знания. При этом способы, схемы переходов к новым теоретическим системам могут быть, конечно, разные. Попытаемся обобщить особенности переходов к канторовской теории множеств и гиперболической геометрии:

1. Решение математических проблем, проводимое при этом доказательство новых теорем, часто сопровождается введением новых математических конструкций. Однако, вообще говоря, эти конструкции не выводят нас за пределы старых теорий. Но среди этих конструкций встречаются и такие понятия и представления, которые в дальнейшем оказываются «стыкующими» старую и новую теории (актуально-бесконечные множества, счётность и несчётность, «диковинные» геометрические объекты, появившиеся при попытке доказательства постулата о параллельных);

2. Новые теории возникают на основе старых и оказываются связанными с ними рефлексивными преобразованиями математической деятельности. Рефлексивные преобразования трансформируют исследовательские программы, осуществляемые в рамках старых теоретических систем, в программы новой математической теории. При этом выделяется целостность утверждений, связующая старую и новую теории, которая формирует генетическим базисом новой теории (соответствующим образом изменённые постулаты Евклида, система утверждений о несчётных множествах);

3. Оказывается возможным выделить те положения, которые отделяют работу в рамках старых (связанных с традиционной теорией) программ развития математики, от работы в математических программах новой теории. Эти положения являются поворотными («узловыми») точками развития математики. Для канторовской теории множеств такой поворотной точкой было доказательство несчётности множества действительных чисел, для гиперболической геометрии – открытие предельных поверхностей.

В обоих этих случаях математики столкнулись с ситуацией, что новые представления никак не укладываются в рамки старых теорий. Так, Н. Лобачевский осознал, что он имеет дело с геометрической системой, которая является более общей, чем геометрия Евклида. Геометрия Евклида есть лишь частный случай новой системы, реализующийся на предельной поверхности. Аналогичным образом, Г. Кантор открыл, что арифметика, связанная с бесконечными множествами, является более общей, чем обычная арифметика[58]. Последняя является её частным случаем при переходе к конечным множествам. Несомненно, данные открытия играли важную роль в том, чтобы Н. Лобачевский и Г. Кантор поверили в значимость исследуемых ими систем, эти открытия придали дополнительную рациональность их деятельности. И всё-таки эта рациональность была слабая. Потребовались огромные дополнительные усилия, чтобы преодолеть отторжение значительной частью математического сообщества их деятельности. Так как первоначально не хватало внутриматематических факторов для преодоления социокультурных ограничений математики той эпохи, неудивительно, что Н. Лобачевский и, особенно, Г. Кантор вышли за пределы чисто математической аргументации.

Делая акцент на открытии Н. Лобачевским конкретных математических фактов, которые позволили ему уверенно продолжить развивать собственную систему, мы отнюдь не сбрасываем со счетов ту огромную роль, которую играют в научном творчестве чисто интуитивные ощущения учёных. Как писал В.Ф. Каган /42, с.265/, «… тот, кто даст себе труд проштудировать начала геометрии Лобачевского …, очень скоро начинает чувствовать, что строгость выводов и связность своеобразных результатов подчиняют себе его мысль, постепенно парализуют его недоверие, поражают силой логической концепции». Но в том то и дело, что «проштудировать начала геометрии Лобачевского» было очень и очень непросто. По выражению Гаусса, сочинения Лобачевского напоминают непроходимый лес, через который не может пробраться ни один человек, не изучивший предварительно каждое его дерево. Тем более, если относиться к работам Н. Лобачевского предвзято. При жизни Лобачевского его геометрия была встречена враждебно, даже издевательски. «Создать совершенное математическое творение и в то же время не встретить ни одного человека, который бы его мысль усвоил, оценил - это величайшая трагедия для учёного» /42/. Но борьбу за свою систему он продолжал до конца своих дней.

Для Лобачевского, как для сторонника эмпирической философии математики, было вполне естественно дать, подобно Швейкарту, астральную интерпретацию своей «воображаемой» геометрии. Соблазняла возможность получить для геометрии межзвёздных пространств опытную проверку. Все наши измерения и наблюдения производятся в совершенно ничтожном, исчезающем (по выражению Лобачевского /71, с.204/) уголке Вселенной. Можно было предположить, что равенство в земных условиях угла параллельности прямому есть лишь следствие небольших расстояний, которые не позволяют элиминировать погрешности измерений. Дилемма между евклидовой геометрией и «воображаемой» геометрией Лобачевского была эквивалентна тому, равна ли сумма внутренних углов треугольника двум прямым или она меньше. Русский математик и хотел это экспериментально проверить. Он вычисляет сумму углов в треугольнике, вершины которого находятся в Солнце, Земле и Сириусе. Увы, сумма отличалась от двух прямых на величину, сопоставимую с погрешностью измерений. Вопрос оставался открытым, так как было неясно, какие межзвёздные расстояния надо считать действительно большими. Впрочем, Лобачевский понимал, что подлинное признание его системы зависит от доказательства её непротиворечивости. Геометрия правильна лишь в том случае, если она не приводит к противоречию, сколько бы долго мы её не развивали. Но где гарантия, что с таким противоречием мы действительно не столкнёмся, где гарантия, что в конце концов мы всё-таки, вопреки ожиданию, не докажем пятый постулат Евклида методом от противного? Одна из главных причин, по которой Гаусс не стал публиковать свои опыты по неевклидовой геометрии – «это неуверенность в том, что его ряд теорем, продолженный дальше, не встретит противоречия, страх того, что его работы послужат в стыд ему и в славу другого, который двумя-тремя теоремами, прибавленными к антиевклидовой геометрии скомпрометирует его …» /80, с.495/. Лобачевский стремился искать доказательства непротиворечивости на пути применения своей геометрии к вычислению определённых интегралов – очень трудоёмкой задачи классического анализа. Ему действительно удалось получить приложение гиперболической геометрии к анализу, вычислить многие труднейшие интегралы, но всё это служило лишь усилению его субъективной уверенности в логической правильности геометрической системы, преодолеть же предубеждение математического сообщества это не помогло. Получить доказательство непротиворечивости ему не удавалось, ему не удавалось, если прибегнуть к введённой нами терминологии, придать статус сильной рациональности переходу к новой геометрии.

Первый шаг к общенаучному признанию гиперболической геометрии был сделан лишь после публикации в 1868 году мемуара Бельтрами. Совершенно неожиданно Бельтрами обнаружил, что геометрия Лобачевского выполняется на так называемых псевдосферах – особого рода поверхностях постоянной кривизны. На каждой части такой поверхности геометрические образы сохраняют ровно те же соотношения, какие имеют место между соответствующими образами планиметрии Лобачевского. «Все странности плоской геометрии Лобачевского находят здесь не только подтверждение, но и пояснение» /42, с.43/. Говорить о нелепости этой системы сделалось невозможным[59]. Примерно в это же время сделались известны идеи Римана, предложившего специальную формулу, в которой использовалась постоянная a, названная им кривизной многообразия. Если эта постоянная равна нулю, то получается традиционная евклидова геометрия. Если a имеет отрицательное значение, то получается геометрия Лобачевского; и, наконец, если a имеет положительное значение, то получается третья геометрия, открытая Риманом. Гельмгольц показал, а позднее и гораздо более строго Софус Ли, что к формуле Римана мы приходим необходимым образом, при условии сохранения расстояния при движении. Таким образом, геометрия Лобачевского предстала не как какая-то маргинальная система, а как одна из трёх логически возможных геометрических систем. К этому следует добавить и замечательное применение гиперболической геометрии к анализу, которое удалось Пуанкаре в его теории автоморфных функций.

И всё-таки, в абсолютном смысле, непротиворечивость геометрии Лобачевского не доказана до сих пор. Она непротиворечива лишь относительно геометрии Евклида, поскольку ей могут быть найдены модели в этой геометрии. Геометрия же Евклида непротиворечива относительно арифметики. Но обосновать арифметику с помощью теории множеств не удалось! Рассматривая переход к геометрии Лобачевского, к неевклидовым геометриям в качестве сильного рационального перехода, в качестве общепризнанной научной истины, можно отметить, что он был достаточно сложен. Нельзя выделить каких-то специальных, единственных критериев рациональности, по которым он осуществлялся. В частности, некоторое время решающим было просто мнение Гаусса. В 1865 году была опубликована его переписка с Шумахером и, к удивлению многих, обнаружилось, что в ней Гаусс очень лестно отзывался о работе Н. Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий». В течении нескольких лет перевод этой работы появился на всех основных европейских языках. В конце концов математическое сообщество просто привыкло к мысли, что геометрия Лобачевского – это респектабельная математическая доктрина.

Ещё более драматичной оказалась судьба канторовской теории множеств. Достаточно сказать, что попытки её опровержения продолжаются до сих пор (см. /40/, /89/). Г. Кантору были глубоко чужды какие-либо колебания и сомнения по поводу значимости создаваемой им теории. Кантор глубоко верил в своё призвание, более того, он считал, что им руководят высшие силы. Ничто не могло бы его убедить, что полученные им результаты несовершенны. Свою борьбу за теорию множеств Кантор рассматривал как религиозную миссию[60]. Существование актуальной бесконечности в мире было для немецкого математика отражением бесконечности самого Бога. Иерархия бесконечных множеств, так называемая шкала «алефов», поднимается, согласно Кантору, до самого абсолюта, представляет собой своеобразную «лестницу на небо» /50, с. 202/. Математическая конструкция превращается в реальность онтологического порядка. Таким образом, личная метафизика Кантора легко разрывала круг метафизических ограничений. Однако научное сообщество, в большинстве своём, не приняло сразу канторовскую теорию множеств. Поэтому постоянной задачей для Кантора было не дать замолчать свою теорию. Усилия, предпринимаемые им в этом направлении, можно назвать беспрецедентными.

Кантор настаивал на введении актуальной бесконечности в математику как базового научного понятия. Но вопрос о существовании актуально-бесконечных множеств был классическим философским вопросом. Мы уже отмечали (параграф 1.3.), что запрет на эти множества носил как внутриматематический, так и метафизический характер. В отношении математики Кантор указывает, что её построениям актуальная бесконечность не является чуждой. В частности, он приводит пример с использованием бесконечно удалённой точки комплексной плоскости в теории функций комплексной переменной /45, с.65/. Бесконечно удалённая точка комплексной плоскости в отношении производимых над ней преобразований оказывается равноправной со всеми остальными точками плоскости. Однако в поиске подтверждений Кантор выходит за пределы математики, он обращается к философии, богословию, естествознанию. В своих сочинениях он очень часто изложение математических результатов «разбавляет» философскими рассуждениями. В предисловии к работе «Основы общего учения о многообразиях» Кантор прямо пишет, что он имеет в виду «двоякого рода читателей, с одной стороны, философов, следивших за развитием математики вплоть до новейшего времени, а с другой – математиков, которые знакомы с важнейшими фактами новой и древней философии» /45, с.64/. Прежде всего, Кантор стремился найти подтверждение своей точки зрения на бесконечность в философии и богословии. Так, он причисляет к своим союзникам Блаженного Августина, Блеза Паскаля, Антуана Арно /50, с.99-105/. Правда для этого ему приходится прибегать к достаточно вольным интерпретациям их взглядов. Увы, сколько бы такие «подтверждения» мыслителей прошлого не были драгоценны, их было слишком мало. Гораздо больше было противников актуальной бесконечности. Кантор подробно разбирает их аргументы и не оставляет от них «камня на камне». Он разбирает взгляды на бесконечное Аристотеля, Оригена, Фомы Аквината /50, с.22-26/ и показывает, что все их аргументы имеют один и тот же недостаток: эти мыслители, стремясь показать абсурдность бесконечных величин, экстраполируют свои представления о конечных величинах на бесконечное. «Все так называемые доказательства невозможности актуально бесконечных чисел…, - пишет Кантор /45, с.263/, - содержат proton yeudoz [61] в том, что в них заранее приписывают или скорее навязывают рассматриваемым числам все свойства конечных чисел…». Но бесконечное надо изучать как таковое, а не навязывать ему свойств конечного! Это для конечных чисел невозможно одновременно быть чётными и нечётными, бесконечные же числа надо научиться понимать такими, какие они есть. Кантор, впервые в истории, имел дерзость принять все известные парадоксы бесконечности как её свойства (напрашивается аналогия с Н. Лобачевским, который принял «диковинные» результаты, получаемые при доказательстве пятого постулата как теоремы новой геометрии).

Среди крупных математиков, взгляды которых на бесконечное оказались неприемлемы для Кантора, выделяются К. Гаусс[62], О. Коши, Л. Кронекер. Кантора не смущали никакие авторитеты. В письме к шведскому математику Г. Энестрему он пишет (цит. по /50, с.57/): «Я … отклонил в этом пункте авторитет Гаусса, который во всех прочих отношениях я ставлю так высоко, подобно тому, как теперь я отклоняю свидетельство О. Коши …». По мнению Кантора, эти великие математики либо совершали ту же ошибку, т.е. требовали, чтобы бесконечные множества подчинялись свойствам конечных, либо же они путали актуальную бесконечность с потенциальной. Особая взаимная неприязнь развилась между Кантором и профессором Берлинского университета Л. Кронекером. Кронекер считал, что чистая математика должна строиться на твёрдом фундаменте целых чисел. Введение иррациональных чисел, а тем более трансфинитных, сопровождается спекуляциями, связанными с актуальной бесконечностью. Тем самым понижаются нормы строгости в математике, происходит падение в «болото» произвольных предположений и бесплодных философских дискуссий. Взгляды Кронекера являлись глубоко продуманной философско-математической позицией. Сейчас очевидна близость его позиции к интуиционистской философии математики. Однако Кантор имел в определённом смысле счастливую особенность не обращать никакого внимания на аргументацию противников своей теории. В ответ он выдвигает собственную философию математики, смысл которой выражен в его знаменитой фразе: «Сущность математики заключается в её свободе». Кантор утверждает, что для законного введения математического понятия достаточно лишь выполнение двух требований:

1. понятие должно быть непротиворечиво,

2. необходимо определить связи этого понятия с уже существующими математическими конструкциями /45, с.79-80/.

Произвол в образовании понятий, который будто бы разрешается здесь, на самом деле ничтожен. Искусственность, неплодотворность тех или иных нововведений сама себя вскоре обнаружит. Гораздо большая опасность заключена во всякого рода внешних ограничениях математическому творчеству. При строгом метафизическом контроле не было бы возможным ни создание математического анализа, ни создание теории функций. А между тем, эти теории уже доказали свою значимость, нашли практическое применение, например, в механике. Эти взгляды Кантора позволяют его отнести к предшественникам формалистской философии математики. Таким образом, отстаивая математическую альтернативу, Кантор одновременно формулирует и альтернативу философскую!

В математической системе Кантора была одна неприятная проблема. Несмотря на богатую абстрактную теорию, с бесконечно возрастающей последовательностью мощностей («алефов»), практически Кантор мог предъявить только две мощности: мощность множества натуральных чисел и мощность континуума. Поскольку положительных примеров, подтверждающих теорию множеств, почти не находилось, вся эта «вавилонская башня» алефов как бы превращалась в мираж /50, с.91-92/. Как найти контакт с реальностью? Как отвергнуть обвинения в бесплодности? Кантор стремился для этого сблизить свою теорию с современным ему естествознанием. Он различал имманентную и транзиентную реальность математических объектов, например, таких, как его трансфинитные числа /45, с.79/. Имманентная реальность суть чисто теоретическая состоятельность представлений и концепций, их логическая определённость. Транизиентная реальность относится к приложениям этих концепций к конкретной физической реальности, к числовой определённости природы и её процессов. Кантор верил, что, в конечном счёте, эти реальности совпадают. Имманентная реальность превращается в транзиентную, математические представления обязательно находят своё приложение. Чтобы помочь этому свершиться быстрее, Кантор выдвинул ряд смелых проектов. Так, он с большим недоверием относился к атомарной гипотезе строения материи, согласно которой она состоит из конечного числа маленьких неделимых частиц, и эту точку зрения разделяли многие авторитетные его современники, например, М. Фарадей, А. Ампер, В. Вебер, Э. Мах. Кантор пишет: «… для получения безупречного объяснения природы последние или первоначальные простые элементы материи следует предполагать имеющимися в актуально бесконечном числе и рассматривать их в отношении пространственности как совершенно непротяжённые и строго точечные» /45, с.168/. Сведя материю к безразмерным точкам, Кантор надеялся, что тогда и физику удастся свести к теории точечных множеств. Различные типы точечных множеств, которые Кантор получил в своей теории, он надеялся интерпретировать как ответственные за различные феноменальные проявления материи: агрегатные состояния вещества, химические свойства, свет и тепло, электричество и магнетизм. Но всё это было не более чем прожекты.

А между тем, независимо даже от усилий самого Кантора, теория множеств начала постепенно приобретать всё больше и больше сторонников. Обнаружились её приложения к теории действительного числа, к топологии. На её основе была сформулирована первая классическая программа обоснования математики – логицизм. Можно только представить каким шоком для Кантора было, в такой, достаточно благоприятной для его теории обстановке, которая сложилась на рубеже веков, обнаружение парадоксов, связанных с самим понятием множества. Ведь он программно утверждал, что лишь логически непротиворечивая математическая конструкция имеет право на существование. Дальнейшая история теории множеств происходила уже без участия самого Г. Кантора. Его теория имела и горячих сторонников и яростных противников. И всё-таки, несмотря даже на выдвижение альтернатив уже и к ней самой (например, альтернативная теория множеств П. Вопенки /19/), эта теория в её аксиоматизированном варианте прочно заняла важное место в основном корпусе математического знания. Вслед за Гильбертом, большинство математиков не захотели быть изгнанными из «рая, созданного Кантором» /23, с.350/. Они слишком привыкли к классической теории множеств.

Истории с открытием гиперболической геометрии, с открытием теории множеств показывают, что одним из признаков гениальности учёных является их способность в своём движении вперёд опираться на ситуационные, слабые критерии рациональности, их способность разглядеть за немногими фактами открывающуюся перспективу. При этом аргументы слабой рациональности, преодолевающие социокультурные ограничения, обязательно должны иметь внутриматематическую компоненту, но обычно она бывает усилена дополнительными соображениями философского характера, которые в дальнейшем развитии математики отступают на задний план.

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итог проведённого нами исследования может быть сформулирован в следующих положениях.

- Концепция «рациональных переходов», предложенная американским философом Ф. Китчером для обоснования математического знания, недостаточна для выполнения этой задачи. Ф. Китчер не смог предложить независимого от настоящего состояния математики критерия рациональности математической деятельности. Релятивность критерия рациональности делает проблематичным любые попытки реконструировать внутреннюю логику развития науки. Кроме того, Ф. Китчер не дал анализа взаимовлияния когнитивных и некогнитивных факторов на развитие математики. Они для него равноправны. Но тем самым ставится под сомнение эпистемический статус математики.

- Обсуждение проблем рациональности в науке становится актуальным тогда, когда существуют альтернативные исследовательские программы. Существование таких программ в математике наиболее явно обнаруживается в ситуациях преодоления социокультурных ограничений на её развитие. Эти ограничения преодолеваются либо через длительный процесс смены культурного контекста, либо через «силовое» преодоление, с помощью выдвижения отдельными математиками утверждений, альтернативных принятым. Именно когда имеет место решимость отдельных математиков противопоставить своё мнение мнению научного сообщества, и встаёт вопрос о рациональности математической деятельности.

- Одним из основных итогов дискуссий в постпозитивистской философии науки по проблемам научной рациональности является необходимость различения сильной и слабой рациональности - рациональности обязывающей и рациональности, оставляющей место для сомнений. С последним типом рациональности, как это следует из взглядов Т. Куна, связана сама возможность развития науки. Слабая рациональность не исключает воздействия некогнитивных факторов на развитие науки.

- К сильным критериям рациональности при переходе к новым математическим теориям можно отнести как прагматистский критерий успешности, так и требование принципиальной непротиворечивости, выдвинутое Д. Гильбертом. В ситуациях нелинейного перехода к новым математическим теориям, когда традиционная математика, жёстко связанная концептуальным аппаратом существующих теорий, сменяется экстраординарными исследованиями, исследованиями вне парадигмы, определяющими становятся не сильные, а слабые критерии рациональности, не общезначимые цели и нормы, а индивидуальные приоритеты исследователя.

- Основным механизмом развития математики, как и любой науки, является проблемное мышление. При этом в силу нелинейного характера этого развития, особую роль играют рефлексивные преобразования. Они обогащают математику новыми объектами исследования и, тем самым, выступают в качестве универсального механизма новаций.

- Анализ перехода к канторовской теории множеств и гиперболической геометрии позволяет выявить следующие особенности:

4.  решение математических проблем в рамках традиционной теории порождает такие представления, математические конструкции, которые в дальнейшем осмысляются в качестве принципиально новых объектов исследования (актуально-бесконечные множества, счётность и несчётность, «диковинные» геометрические объекты, появившиеся при попытке доказательства постулата о параллельных);

5. рефлексивные преобразования трансформируют исследовательские программы, осуществляемые в рамках старых теоретических систем, в программы новой математической теории, преодолевая, тем самым, социокультурные ограничения, связанные с прежними математическими представлениями. Те положения, которые отделяют работу в рамках новых программ развития математики, от работы в математических программах старой теории, оказываются поворотными («узловыми») точками развития математики. Для канторовской теории множеств такой поворотной точкой было доказательство несчётности множества действительных чисел, для гиперболической геометрии – открытие предельных поверхностей;

6. возникновение канторовской теории множеств и гиперболической геометрии оказалось возможным во многом благодаря тому, что создатели этих систем опирались в своём творчестве на вполне конкретные ситуационные критерии рациональности. Анализ показывает, что аргументы слабой рациональности, преодолевающие социокультурные ограничения, обязательно должны иметь внутриматематическую компоненту, но обычно её оказывается необходимо усилить дополнительными соображениями мировоззренческого, философского характера.

- В ситуациях преодоления социокультурных ограничений, нелинейных переходов к новым математическим теориям социопсихологические факторы могут оказывать решающее воздействие на процессы развития математического знания.

В нашем исследовании мы связали появление новой математической теории с формированием уже в рамках старых теорий её генетического базиса, т.е. некоторой целостности положений, потенциально способных послужить отправной точкой для развертывания новой теоретической системы. Разумеется, такой путь зарождения новой математической теории не является единственным. Так, часто математические теории зарождались не в старых теоретических системах, а в практической математике. Новые теоретические связи и отношения возникают тогда как результат рефлексии над алгоритмами вычислительных процедур. Видимо таков путь появления дифференциального исчисления. Возникновению теории вероятности также непосредственно не предшествовала никакая старая теоретическая система. Если же генетический базис новой теории зарождается в рамках старых теорий, старых программ развития математики, в связи с проблемами, не имеющими к новым теориям прямого отношения, то определяющую роль для появления новых теоретических систем играют рефлексивные преобразования математической деятельности. При этом переход к непосредственному исследованию новой теоретической системы оказывается тесно связанным с усилиями математиков придать рациональный смысл своим исследованиям в новой области, оправдать разрыв с социокультурной традицией, определявшей их предшествующую деятельность. Изучение особенностей подобных переходов, конечно же, необходимо, если мы стремимся выработать целостное представление о механизмах и закономерностях развития математики.

Значение социокультурных факторов для глобальных процессов смены оснований математики, таких, как возникновение теоретической математики в Древней Греции или возникновение новоевропейской математики, достаточно очевидно и хорошо изучено. Но наше исследование показывает, что учёт некогнитивных факторов необходим и при изучении относительно спокойных периодов теоретической трансформации математического знания. Гладкое, детерминированное внутренней логикой развитие математики может неожиданно столкнуться с нелинейностями, и тогда роль личностных, социопсихологических факторов стремительно возрастает. С течением времени, по мере признания нового направления научным сообществом, личностное знание, личностная вера отчётливо приобретают черты сначала слабой, а потом и сильной рациональности. Под понятием слабой рациональности скрываются порой драматические процессы принятия или отвержения новой научной доктрины. Эти процессы играют роль определённого социального механизма: с одной стороны, они действуют как фильтр, отсеивающий «перегибы» в приверженности тех или иных учёных к собственным взглядам, а с другой стороны, с их помощью стимулируется поиск новых путей развития науки. Без подобного социального механизма принятия немыслимо развитие науки, в том числе, как мы старались показать, и развитие математического знания. Он оказывается особым фактором, действующим на уровне перехода к новым математическим теориям.

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

 

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Советское радио, 1970. – 152 с.

2. Автономова Н.С. Рассудок, разум, рациональность. – М.: Наука, 1988. – 287 с.

3. Александров А.Д. Общий взгляд на математику //Математика, её содержание, методы и значение. – М.: АН СССР, 1950.

4. Александров П.С. Математическое открытие и его восприятие   //Научное открытие и его восприятие. - М.: Наука, 1971. - с.68-72

5. Александров П.С. О вкладе Г. Кантора в математику //Историко-математические исследования.– М.: Наука, 1983. - Выпуск 27. – с.290-292

6. Аристотель. Сочинения: В 4 т. – М.: Мысль, 1978. – Т.2. – 687 с.

7. Аракелян Г.Б. О доказательстве в математике. – Ереван, 1979. – 164 с.

8. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. - М.: МГУ, 1983. – 166 с.

9. Барабашев А.Г. Философия математики в США: современное состояние //Закономерности развития современной математики: методологические аспекты. - М.: Наука, 1987.

10. Барабашев А.Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования. - М.: МГУ, 1991. – 160 с.

11. Барабашев А.Г. О прогнозировании развития математики посредством анализа формальных структур познавательных установок //Стили в математике: социокультурная философия математики. – СПб.: РХГИ, 1999. – с.463-482

12. Башмакова И.Г. О возникновении математики как науки //Методологические проблемы развития и применения математики. – М.: Наука, 1985.

13. Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты /Под ред. А.Г. Барабашева. – М.: Янус-К, 1997. – 400 с.

14. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. – Одесса: Mathesis, 1911. – 156 с.

15. Бойаи Я. Аппендикс. Приложение, содержащее науку о пространстве абсолютно истинную. – М.-Л.: Гостехиздат, 1950. – 234 с.

16. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: ИЛ, 1965. – 292 с.

17. Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. - М.: Наука, 1992. – 228 с.

18. Вигнер Ю. Непостижимая эффективность математики в естественных науках //Этюды о симметрии. - М.: Мир, 1971.

19. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. – М.: Наука, 1983. – 326 с.

20. Габриэлян О.А. Математика как феномен культуры. - Ереван, 1980. – 212 с.

21. Гайденко П.П. Эволюция понятия науки. - М.: Наука, 1980. – 566 с.

22. Гейтинг А. Тридцать лет спустя //Математическая логика и её применения. - М.: Мир, 1965.

23. Гильберт Д. Основания геометрии. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948. – 256 с.

24. Гильберт Д. Аксиоматическое мышление //Методологический анализ оснований математики. - М.: Наука, 1988. - с.97-104

25. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Логические исчисления и формализация арифметики. - М.: Наука, 1979. – 557 с.

26. Гончаров С.С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки. - М.: Интерпракс, Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1994. – 256 с.

27. Григорян А.А. О гносеологическом механизме возникновения нового математического знания //Методологический анализ математических теорий. – М.: Наука, 1987. – с.33-41

28. Григорян А.А. Социокультурные и метафизические круги и их преодоление в развитии математики //Стили в математике: социокультурная философия математики. – СПб.: РХГИ, 1999. – с.353-374

29. Гротендик А. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математики. – М., 1995. – 186 с.

30. Грязнов Б.С. Логика. Рациональность. Творчество. - М.: Наука, 1982. – 255 с. 

31. Гудстейн Р.Л. Математическая логика. – М.: ИЛ, 1961. – 286 с.

32. Даан-Дальмидико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: очерки по истории математики. - М.: Мир, 1986. – 432 с.

33. Дальма А. Эварист Галуа: революционер и математик. - М.: Наука, 1984. – 216 с.

34. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональность числа. – Одесса: Mathesis, 1923. – 86 с.

35. Демидов С.С. О работе Д. Гильберта «Аксиоматическое мышление» //Методологический анализ оснований математики. – М.: Наука, 1988. – с.104-107

36. Димитриу И.П. Природа и структура революций в математике: философско-методологический анализ. Автореф. дис. … канд. философ. наук /Моск. гос. пед. ин-т. - М., 1994. – 20 с.

37. Дьедонне Ж. О прогрессе математики //Историко-математические исследования. - М., 1976. - Выпуск 21. – с.56-68

38. Евклид. Начала. Книги I-VI. – М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. – 455с.

39. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. - Л.: Наука, 1990. – 190 с.

40. Зенкин А.А. О логике некоторых квазифинитных рассуждений теории множеств. Новый парадокс канторовской теории множеств //Новости искусственного интеллекта. – 1997. – №1. – с.64-98

41. Каган В.Ф. Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии в ходе её исторического развития. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949. – Ч.1. - 492 с.

42. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. - М.: МГУ, 1963. – 570 с.

43. Кадыржанов Р., Жумадилов А.Б., Ракишева А.Т. Философско-социологические проблемы математики. Научно-аналитический обзор. - Алма-ата, 1986. – 156 с.

44. Кант И. Критика чистого разума. – СПб.: Тайм-аут, 1993. – 472 с.

45. Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. – 430 с.

46. Карпович В.Н., Бондаренко Т.М. Диалектика содержания и формы в процессе математизации науки. – Новосибирск: Наука, 1990. – 175 с.

47. Касавин И.Т., Сокулер З.А. Рациональность в познании и практике. - М.: Наука, 1984. – 192 с.

48. Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII в. – М., 1993. – 206 с.

49. Катасонов В.Н. Форма и формула (к вопросу о типе рациональности анти