Группа преобразований подобия плоскости и некоторые ее подгруппы

Опред. Преобразование пл-ти наз преобразование подобия, когда все расстояния между точками изменяются в к раз. к -константа>0 (коэфицент подобия).

Опред. Преобразование плоскости называется преобразование подобия, когда оно является аффинным преобраз. и все расстояния между пунктами меняет в к-раз.

Опред. Гомотетией наз.каждое движение – преобразован пад-сці з к =1.

Утв.: Каждая гомотетыия з коэф. - есть падобнасць з коэфіц. к=│ │ хˈ= х

уˈ= у – формулы афинного преобразования.

Суть метода гомотетии – для данной или искомой фигуры существует центр гаматэтыи, который задан или м. найти. Выполнив гаматэт. преобраз., получим новыя эл-ты, - связанные с искомой или данной фигурой, которые и позво-во выполнять неабход.построения.

Гомот. з центрам О і коэф. k наз. такое преобоазование, которое "п. А ставит в соответсвие. п. А', что

1. ОА'= │ k │ ОА; 2.п. О, А, А' принадл адной прамой; 3.когда k >0, п. А' лежит на луче ОА, а когда k <0, то А' лежит на луче, который дополняет ОА.

Свойсвта:

1) При гаомотетии прямая перех в прямую (т.е. гомотетия является схожестью, а каждая похожесть - афиннае первотворения, то гаматэтыя - афинное преобразования).

2) Каждая прямая, которая прох через центр гам-и, перех сама в себя.

3) Каждая прямая переходит в параллельную ей прямую.

Док-во:

Пускай это не так и прямыя не парал-ныя, тогда они перес-тя в точке.

Пускай

4) Гаматэтыя адназначна вызначаецца сваим цэнтрам и парай пунктау. F: О, А, А’.

Задача:задана гаматетия Н₀(А)=А'. Паостроим. образ точки В.

а) точка В ОА б) точка В ОА

Утв1. Когда - преобразование пад-ці с коэф. к, то - преобразованием пад-ци с коэф. 1/к. Замечание: Т.к. - аф.пер-не, то - аф.пер-не

Утв2. Когда - преобразование пад-ци с коэф. к1 і к2, то композицыя - тоже преобразование пад-ці з к = к1*к2

Т1. Мн-ва всех аф. Преобразований утварае группу преобразований пл-ти. Д-во: следует из утв1, утв2.

5. Группа афинных преобразований пл-ти и некоторые ее подгруппы

Поставим в соответствие каждому. п. пл-ти M (x, y) п. M '(x, y). Получаем пераутвар. данной пл-ти. - Афиннае пераутв., которое задается реперами (1), (2). .

Легко видеть, что кожн. аф. пераутв. взаемооднозначно. в этом случае имеет отвар. пераутв. , которое задаётся реперамі і .

Проверим, что при этом пераводит равные векторы в равные – .

у (1) у (1)

у (2) у (2). Отсюда следует, что равные. векторы переходят в равные векторы, и наше определение корректно.

Т.Ч. аф. пер. дзейств. не только на пункты, но и на вектары пл-ти.

Т: Пусть А, В, С и А ', В', С '- две тройки пунктау пл-ти общего положения. Существует ровно одно Афин. пераутвар., Такое, что

Т: (без д-ва): Аф. пер. каждый рэпер пераутв. в рэпер и задается парой таких рэперав.

Т: Мн-ва всех аф. пер. пл-ти образует группу пераутв. пл-ти.

Д-з: . Н-й верна

, - аф. пер. : (1),(2)

Подействуем на , : (2), (3)

. Вид-но, что композиция - аф. пер., задаётся (1) і (3).

осн. факты аф. пер.:

1) Прямая переход. в прямую - у (1), у (2).

2) //-я пр. у //-я пр.

3) Сохраняется простое отношение 3 т.(АВС)

Д-во:

4) Отрезок в отрезок

5) Серед. отр. в сер. отр.

6) ∆ в ∆ - кажд 2 ∆-ка афинна-кангруэнтны (Две фигуры будем наз. афинна-кангурэнтными ф-ми, если одна из них переводится в другую некоторым аф. первотворения).Параллелаграм у параллелаграм - кожн 2 параллел-ма афінна-кангруэнтны

7) Кривая 2-го порядка в кривую 2-го порядка - эллипс в эллипс, гипербола в гиперболу, парабола - в параболу

8) Аф.пер. не сохр углы, расстоян, S, но сохр. отнош пл-дей

- базис вектарау пр-ва, и - афинны рэпер в пр-ры, М об. п пр-ры