Основні теореми диференціального числення

Основні теореми диференціального числення.

   Теорема Ферма: Нехай функція f(х) неперервна на інтервалі і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу. Тоді, якщо в точці с існує похідна то .

   Доведення: Для визначеності вважатимемо, що в точці с функція набуває свого найбільшого значення, тобто (3)

Оскільки точка с є внутрішньою точкою інтервалу , то приріст може бути як додатним, так і від’ємним, а відповідний приріст функції, як випливає з умови (3), не може бути додатним: . Звідси при маємо , тому . Аналогічно, якщо , то . За умовою похідна існує, тобто . Тоді за умов випливає, що . Теорему доведено.

   Геометричний зміст теореми Ферма зрозумілий з малюнка: якщо в точці функція досягла найбільшого чи найменшого значення, то дотична до графіка цієї функції в точці паралельна осі .

   Теорема Ролля: Якщо функція f(х) неперервна на відрізку , диференційована в інтервалі і на кінцях відрізка набуває однакових значень , то знайдеться хоча б одна точка , в якій .

   Доведення: Оскільки функція f(х) неперервна на відрізку , то вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого значення і найменшого значення . Якщо , то і в довільній точці .

   Нехай

Тоді хоча б одне із значень чи досягається функцією у внутрішній точці інтервалу , тому що . За теоремою Ферма похідна в такій точці дорівнює нулю. Теорему доведено.

Геометричний зміст теореми Ролля: якщо функція задовольняє умови теореми Ролля, то на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна осі .

Теорема Коші: Якщо функції і неперервні на відрізку , диференційовні в інтервалі , причому , то існує така точка , що

.

Доведення: Введемо допоміжну функцію

, яку можна розглядати на відрізку , бо . У противному разі за теоремою Ролля знайшлася б точка , в якій , що неможливо, бо за умовою . Неважко пересвідчитись, що функція задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому знайдеться точка , в якій або

,

звідки й випливає формула . Теорему доведено.

Теорема Лагранжа: Якщо функція , неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі , то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій .

Доведення: Цю теорему можна розглядати як окремий випадок теоремиКоші. Справді, поклавши у формулі , дістанемо формулу . Теорему доведено.

Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа

Запишемо формулу у вигляді

,

тоді .

Тобто якщо функція задовольняє умови теореми Лагранжа, то на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді, що сполучає кінці кривої і . Таких точок може бути і кілька, але хоча б одна завжди існує.