Визначений інтеграл як границя інтегральних сум

Нехай - неперервна на функція. Позначимо через - будь-який набір точок з , що . Набір Т – розбиття на частин.

Розглянемо – довжина . Для кожного визначимо числа – найменше і найбільше значення функції на : , .

Означення. Нижньою сумою Дарбу для функції і набору точок Т на називається сума :

.

Означення: Верхньою сумою Дарбу для функції і набору точок Т на називається сума

.

Очевидно, що

Геометрична інтерпретація:

Якщо на кожному з проміжків вибрати точку : і знайти суму добутків , то позначивши , цю суму називають інтегральною сумою для функції і розбиття Т.

Геометрична інтерпретація:Зрозуміло, що .

Суми Дарбу – нижня і верхня інтегральні суми.

Означення. Якщо існує єдине число І таке, що для будь-якого набору справджується рівність , то число І називається визначеним інтегралом від функції на :

, - межі інтегрування.

Геометричний зміст визначеного інтеграла:

Інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції, яка обмежена віссю , прямими , і графіком функції :

            Умови інтегрованості функції.

Теорема 1. (необхідна умова). Якщо функція неперервна на , то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 2. (достатня умова). Якщо функція неперервна на , то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 3. Якщо функція обмежена на і неперервна в ньому скрізь, крім скінченого числа точок, то вона інтегрована на цьому відрізку.