2020-04-12
129
Иногда интегрирование по частям позволяет получить соотношение между неопределенным интегралом, содержащим степень некоторой функции, и аналогичным интегралом, но с меньшим показателем степени той же функции. Подобные соотношения называются рекуррентными формулами.
Выведем рекуррентную формулу для интеграла 
, где n – целое положительное число.
D При n =1 имеем табличный интеграл 
.
Пусть n> 1. Представив единицу в числителе как разность 
, получим
.
Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям:
, 
, 
, 
.
Тогда 
. Следовательно,
, откуда 
.
Таким образом, интеграл 
выражен через 
:
(n>1). Ñ
Проверим нашу готовность приступить к интегрированию основных классов элементарных функций, вычислив интеграл 
, последовательно применяя методы непосредственного интегрирования, подведения функции под знак дифференциала и интегрирование по частям.
D 
. Ñ
Вычислим также интеграл
I= 
Далее полагаем u =eax , dv=cosbxdx, du=aeaxdx, v= 
sinbx. Следовательно 
Получаем уравнение относительно неизвестного интеграла I. Решая его, находим
|
|
|
или 
= 
.
* Дифференциал функции 
сохраняет одно и то же выражение независимо от того, является ли ее аргумент u независимой переменной или функцией от независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью, т.е. неизменностью формы дифференциала.
