Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть задано уравнение F(x,y)=0, причём функция F(x,y) и её частные производные F´x(x,y) и F´y(x,y)- определены и непрерывны в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Пусть F(x₀,y₀)=0,а F´y(x,y)≠0. Считаем, что функция y=ƒ(x) неявно задана уравнением F(x,y)=0.

Тогда существует производная                                                                   (2.4)

Если задано уравнение F(x,y,z)=0 и z=ƒ(x,y)- функция, заданная неявно, то

                                                                                                                        (2.5)

Пример: найти   если F(x,y)=xe^y+ye^x-e^xy=0

F´_x=e^y+ye^x-e^xy y; F´_y=xe^y+e^x-e^xy x

Тогда в соответствии с формулой (2.4)

Пример: найти          , если F(x,y,z)=z³+3xyz-a³

F´_x=3yz; F´_y=3xz; F´_z=3z²+3xy

Тогда по формуле (2.5)

Производная по направлению.

Если функция  f(x,y,z) дифференцируема в точке (x,y,z), то для неёимеет смысл производная по направлению любого единичного вектора   

    l (cos α,cos β,cos γ) и

                                                                                                    ,OZ)

Т.к. вектор l - единичный, то cos²α+cos² β+cos²γ=1                                    (2.7)

Пример: найти производную функции u=x²-3yz+5 в точке М(1,2,-1) в направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.

Т.к. α=β=γ, то cos α=cos β= cos γ, тогда в соответствии с формулой (2.7)

cos² α=cos² β= cos² γ=1/3, т.е. cos α=cos β= cos γ= =

 

     2x |_M

Пример: найти производную функции z=2y²-xy-2x² в точке P(2;1) в направлении, составляющем с осью OX угол 30°.

Тогда:

Уравнения касательной плоскости и нормали.

А) Для функции z=f(x,y), заданной явно, уравнение касательной плоскости в точке

M(x₀,y₀,z₀) имеет вид z-z₀₌

Нормаль - прямая, перпендикулярная касательной плоскости в точке касания M(x₀,y₀,z₀). Её уравнение:                   

                                                                            (2.9)                                                                                             

Пример: найти уравнение касательной плоскости и нормали в точке

М (3,4,-7) для поверхности z=                -xy.

Найдём  частные производные

Уравнение касательной плоскости:

z+7=-                                    , после преобразований получим

  17x+11y+5z-60=0

Уравнение нормали:

Б) Для функции F(x,y,z)=0, заданной неявно, уравнение касательной плоскости в точке М(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

F´_x(M)·(x-x₀)+F´_y(M)·(y-y₀)+F´_z(M)·(z-z₀)=0.                          (2.10)

Уравнение нормали                                                               (2.11)

Пример: Записать для поверхности 3x⁴-4y³z+4z²xy-4z³x+1=0 в точке M(1;1;1) уравнение касательной плоскости к нормали.

F´_x=(12x³+4z²y-

F´_y=(-12y²z +           =-8

F´_z=(-4y³+8zxy-

Уравнение касательной плоскости: 12(x-1)-8(y-1)-8(z-1)=0, после преобразований: 3x-2y-2z+1=0

Уравнение нормали