2020-04-12
1221
Замена переменной в интеграле 
состоит в переходе от переменных x и y к новым переменным u и v, связанных соотношениями
x= X (u, v), y = Y (u,v), (u,v) 
D. (3.4)
При выполнении условий, что отображение (3.4) взаимно однозначно, а функции в соотношении (3.4) непрерывно-дифференцируемы, то якобиан отображения – определитель, составленный из первых частных производных:
тогда имеет место формула:
(3. 5)
Обычно замена переменных производится с целью упрощения области интегрирования. Соотношения (3.4) называют переходом от прямоугольных декартовых координат к криволинейным. Примером криволинейных координат являются полярные координаты, связанные с прямоугольными формулами:
, 
, 
, (3.6)
; 
В полярных координатах полюс совпадает с началом координат, полярная ось – с положительным направлением оси Ох, угол φ (положительный) отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.
Якобиан преобразования равен:
Если D = 
, то
(3.7)
Пример: построить область интегрирования и перейти к полярной системе координат
Порядок интегрирования соответствует формуле (3.1):
; верхняя граница
Возводя в квадрат правую и левую части и дополняя до полного квадрата разности, получили уравнение окружности
с центром (
т.к. в верхнем пределе перед корнем нет знака, то приписывается знак плюс. Т.е. верхняя граница области D – верхняя часть окружности
Нижняя граница:
Переносим 
в левую часть и возводим правую и левую часть в квадрат
Получили уравнение окружности
с центром 
радиуса 
Рис. 3.8
Область интегрирования D - область между двумя выше указанными окружностями. Точка пересечения A (
). Вся область D находится в первом квадранте, следовательно 
, но область ограничена двумя разными окружностями. Проведем луч из начала координат в точку А. Тогда область разделится на две части.
, следовательно, 
. Тогда в полярной системе координат область интегрирования и сам двойной интеграл разбиваются на две части: 0≤ φ≤π/6 и π/6≤φ≤π/2.
Окружность 
в полярной системе примет вид 
Окружность 
в полярной системе примет вид 
Студентам рекомендуется запомнить следующее правило. Если центр окружности сдвинут по оси Ох вправо, ровно на радиус окружности R, то в полярной системе координат уравнение такой окружности 
, если влево на радиус, то 
. Если центр окружности сдвинут на радиус по оси Оy вверх – уравнение окружности в полярной системе 
, если же центр окружности сдвинут ровно на радиус вниз, то 
. Это правило легко выводится из соотношений (3.6).
Окончательно в полярной системе координат двойной интеграл примет вид:
I= 
Пример: начертить область на которую, распространяется двойной интеграл, изменить порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат.
Рис. 3.9
Уравнение нижней окружности:
Уравнение верхней окружности: x²+y²=2. В декартовой системе координат заданный интеграл примет вид:
порядок интегрирования изменен, где 
(нижний предел интегрирования во внутреннем интеграле).
Используя вышеприведенное правило в полярной системе координат при
π≤φ≤7π/6 двойной интеграл примет вид:
- двойной интеграл в полярной системе координат.
Геометрические и физические приложения двойного интеграла.
Пусть G – материальная пластинка (квадрируемая фигура) на плоскости с плотностью 
1. Площадь пластины 
2. Масса пластины m= 
3. Статические моменты пластинки относительно осей Ox и Oy
4. Координаты центра тяжести пластинки 
5. Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy
, 
6. Момент инерции пластинки относительно начала координат
Пример: вычислить площадь пластины ограниченной линиями: y=x; y=0; y²-4y+x²=0; y²-8y+x²=0
Запишем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования:
y² - 4y + x² =0 y 
Окружность с центром, Окружность с центром,
сдвинутым по у на 4 единицы
сдвинутым по у на 2 единицы
Рис. 3.10
Уравнения окружностей, в соответствии с вышеизложенным правило примут вид : ρ=4∙sinφ и ρ=8∙ sinφ.
Пример: вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением 
Проведем замену переменных: x=ρcosφ, y= ρsinφ. Тогда заданная кривая в полярной системе координат примет вид:
где 
Рис.3.11
Тогда 
С учетом того, что cos2 
имеет период Т=π, и ρ≥0 параметр 
С учетом симметрии фигуры (рис. 3.11), вычислим площадь четвертой части и результат умножим на четыре.
Вычислим площадь по формуле 
Площадь всей фигуры, ограниченной данной линией, S=2 
.
Пример: найти массу пластинка G, если она задана ограничивающими её кривыми (рис. 3.12):
x = 0, y = 0, 
, 
- поверхностная плотность.
Рис. 3.12
Пластинка расположена в прямоугольной системе координат таким образом, что центры окружностей совпадают с началом координат.
. Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам
при этом область G преобразуется в прямоугольную область в полярной системе координат: 2≤ρ≤3, -π/2 ≤φ≤0, поверхностная плотность:
Масса плоской пластины вычисляется по формуле:
Пример: найти статические моменты относительно координатных осей Ох и Oy однородной фигуры, ограниченной кривыми y²=ax, y=x (рис. 3.13) Т.к. фигура однородная, примем поверхностную плотность μ=const=1.
Рис.3.13
Статический момент относительно оси Ох
Статический момент относительно оси Оу
Тройные интегралы
Задача о массе пространственного тела переменной плотности f(x,y,z) приводит к понятию тройного интеграла. Под областью “V”,на которую распространен тройной интеграл, понимается ограниченная замкнутая пространственная область, ограниченная снизу и сверху поверхностями 
, а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. Переменные x и y изменяются в плоской области 
, которая является проекцией на плоскость xoy пространственной области “V”. Функция f(x,y,z), стоящая под интегралом должна быть непрерывной и ограниченной в области “V”.
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствами двойного интеграла.
