Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Индивидуальные домашние задания студентов по теме «Функции многих переменных» (ФМП), как правило, содержат следующие задания:

1) задачи на дифференцирование сложных ФМП;

2) задачи на дифференцирование функций, заданных неявно;

3) нахождение производной от ФМП по заданному направлению;

4) нахождение уравнений касательных плоскостей и нормалей для        

    функций заданных явно и неявно;

5) задачи на экстремум функций нескольких переменных.

В основе всех перечисленных задач лежит умение правильно находить

частные производные. Частной производной функции двух переменных z=f(x,y) по переменной x называется предел отношения приращения функции (при условии, что изменяется только переменная x, а y=const)

∆zx =f(x+∆x,y) – f(x,y) к приращению аргумента ∆х ( при ∆х→0). При условии, что этот предел существует и конечен. Обозначения: ∂z/∂x =∂ƒ/∂x =z΄x=ƒ΄x.

Аналогично, для функции двух переменных   z=ƒ(x,y) частная производная по аргументу y:  ∂z/∂y = ∂ƒ/∂y = z΄y = ƒ΄y (при x=const). Если у функции ∂ z/∂x существует частная производная снова по переменной x (y=const), то ее называют частной производной второго порядка от функции ƒ(x,y) попеременной x и обозначают  ∂²z/∂ x². Таким образом, по определению ∂²z/∂ x²=∂(∂z/∂x)/∂x. Если существует частная производная от функции ∂ z/∂x по переменной y, то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции ƒ(x,y) и обозначают символом ∂² z/∂x∂y = z΄΄xy.                                                                                Теорема (о смешанных производных). Пусть функция z=ƒ(x,y) определена вместе со своими частными производными  ∂z/∂x,  ∂z/∂y,  ∂²z/∂x∂y, ∂²z/∂y∂x в некоторой окрестности точки Po(xo,yo), причем ∂²z(Po)/∂x∂y  и  ∂²(Po)/∂y∂x  непрерывны в точке Po, тогда   ∂²z/∂x∂y = ∂²/∂y∂x, т.е. смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования.

Пример: найти  ∂² z/∂x∂y   и   ∂²z/∂y∂x, если   z=x²+y²+x∙y.

Найдем первую частную производную ∂z/∂x =2x+y, при дифференцировании брали производные только от первого и третьего слагаемых, т.к. аргумент x, по которому производилось дифференцирование, находится только в этих слагаемых. При этом аргумент y = const. Алогично, ∂ z/∂y = 2y + x при    x=const.  Тогда, используя аналогичные правила ∂²z/∂y∂x =∂(2x+y)/∂y = 1и ∂²z/∂x∂y = ∂(2y+x)/∂x = 1, т.е. смешанные  производные не зависят от порядка дифференцирования.

Пример: найти смешанные частные производные, если z=y²+cos(x∙y). Найдем первые частные производные   ∂z/∂x = -sin(x∙y)∙y,  ∂z/∂y =2y -sin(x∙y)∙x. При повторном дифференцировании первой из частных производных теперь по аргументу y, используем  формулу  дифференцирования  произведения  (u∙v)΄=u΄v+v΄u. Тогда  ∂ ²z/∂y∂x =-cos(x∙y)∙yx –sin(x∙y). При повторном дифференцировании первой частной производной  ∂ z/∂y по переменной   x, учтем, что при этом y=const,  тогда  ∂² z/∂x∂y = -cos(x∙y)∙xy –sin(x∙y), т.е. вторые смешанные производные равны между собой.

Таблица производных и все правила дифференцирования для частных производных остаются теми же, что и для функции одного переменного.