Экстремум функции нескольких переменных

Функция f(x₁,x₂,…,x_n) имеет максимум (минимум) в точке Р, если для всех отличных от Р точек Р₁ в достаточно малой окрестности точки Р выполняется неравенство f(p)<f(p₁). Максимум или минимум функции называется локальным экстремумом. Точки, в которых дифференцируемая функция f(x₁,x₂,…,x_n) может достигать экстремума, называются стационарными точками.

Необходимые условия экстремума. Если дифференцируемая функция u=f(P) достигает экстремума в точке Р₀,то в этой точке все её первые частные производные обращаются в ноль, т.е.                                                 (2.12)

 

Из решения системы уравнений (2.12) находят координаты стационарных точек.

Достаточные условия экстремума. Пусть функция u=f(P) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности её стационарной точки Р₀. Тогда если второй дифференциал d²u(P₀) в окрестности точки Р₀ имеет постоянный знак, то функция имеет максимум в точке Р₀, если d²u(P₀)<0 и минимум, если d²u(P₀)>0. Для функции двух переменных z=f(x,y) достаточные условия формулируются следующим образом. Пусть P₀(x₀;y₀)- стационарная точка функции z=f(x,y) и

Тогда: а) если D>0, то в точке P₀(x₀;y₀) есть экстремум, причём максимум, если A<0 и минимум, если A>0;

б) если D<0, экстремума в точке P₀(x₀;y₀) нет;

в) если D=0 – требуются дополнительные исследования.

Пример: исследовать функцию на экстремум z=2x³+2y³-36xy+430.

Находим первые частные производные

Найдём стационарные точки, решив систему:

Из первого уравнения y=, подставив его во второе уравнение, получим

x⁴-216x=0, которое запишем так x(x³-216)=0. Разлагая на множители выражение в скобках получим: x(x-6)(x²+6x+36)=0.

Данное уравнение имеет два действительных корня x₁=0, x₂=6. Получили две стационарные точки P₁(0;0) и P₂(6;6).

Проверим достаточные условия для каждой из точек:

A=     =12x; C=    =12y; B=     = -36

 

Точка Р₁(0;0): A=0; C=0; D=AC-B²<0, т.е. в точке P₁(0;0) экстремума нет.

Точка P₂(6;6): A=72; C=72: D=72·72-36²>0 - в точке Р₂(6;6)- экстремум есть, а т.к. A=72>0, то имеет место минимум z_min=-2.

Пример: найти стационарные точки и исследовать их характер у функции

z=x³+y³-3xy

Составляем систему для нахождения стационарных точек:

                      , т.е. x=y², подставим это равенство в первое уравнение,

получим

3y⁴-3y=0; 3y(y³-1)=3y(y-1)(y²+y+1)=0.

Возможны два решения y=0, тогда и x=0, т.е. первая стационарная точка Р₁(0;0).

Или y=1, тогда x=1, вторая стационарная точка Р₂(1;1).

Проверим достаточные условия для каждой из точек;

A=

Р₁(0;0): A=   =0;                    т.е. D=0·0-(-3)² <0-экстремума нет.

Р₂(1;1): A=   =6; C=    =6; B=     =-3, т.е. D=6·6-9>0, и A=   =6>0,

т.е. в точке Р₂(1;1)- минимум.

Z_min(1;1)=-1

Двойные интегралы.

Индивидуальные домашние задания второго семестра кроме задач на несобственные интегралы и дифференцирование ФМП содержат задачи на интегральное исчисление функций двух и трех независимых переменных. Задания по теме «Двойные интегралы» включают в себя следующие задачи: а) начертить область, на которую распространен двойной интеграл, поменять порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат;

б) используя представление о декартовой и полярной системах координат на плоскости, решить задачу на приложения двойного интеграла.                 Задача об объеме цилиндрического тела приводит нас к понятию двойного интеграла. Если функция f(x,y) = f(P) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости XOY, а  - площади элементарных подобластей, полученных разбиением области D, диаметры которых d , то предел интегральных сумм (если он существует) называется двойным интегралом от функции f (x,y) по области D:

3.1 Свойства двойного интеграла.

а) геометрический смысл двойного интеграла – объем цилиндрического тела

б) если f(x,y) = 1, то численно двойной интеграл равен площади области D

в) константу можно выносить за знак интеграла

г) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

д) если D= , где  - не пересекаются, то

е)