2020-04-12
2433
Пусть АВ – дуга кусочно-гладкой пространственной кривой, в каждой точке которой определена непрерывная функция f(x,y,z). Разбивая дугу на части ∆l i и выбирая в каждой части произвольную точку Mi(xi,yi,zi), вычислим значение f(Mi). Умножим это значение на длину элементарной дуги ∆li. Сложим все произведения, и найдем предел этой суммы при условии, что наибольшая из элементарных дуг max ∆li→0, а их число n→∞.
lim 
f(x,y,z)dl (5.1)
max∆li→0
При непрерывности функции f(x,y,z) на дуге АВ этот предел существует и не зависит от способа разбиения дуги на части. Этот предел называется криволинейным интегралом I рода. Физическая интерпретация криволинейного интеграла первого рода (5.1) - масса кривой АВ. Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграла.
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями: x=X(t), y=Y(t),z=Z(t), где tА≤ t ≤ tB, то
|
|
|
f(x,y,z)dl= 
· 
dt.
Если кривая АВ задана на плоскости уравнением y=f(x) при a≤x≤b, то
f(x,y)dl= 
· 
dx.
5.1. Задачи на механические приложения криволинейного интеграла.
С помощью криволинейного интеграла I рода можно вычислить:
а) массу кривой
m= 
, где 
- плотность
б) статические моменты относительно координатных осей для плоской дуги
Mx = 
My= 
в) статические моменты относительно координатных плоскостей для пространственной дуги
Mxoy= 
Myoz= 
Mxoz= 
г) моменты инерции относительно координатных осей плоской дуги
Jx= 
Jy= 
д) координаты центра тяжести
xc= 
yc= 
zc= 
Пример: вычислить интеграл
2 ydl, где ﮞ АВ – часть окружности 
+ 
= 
, лежащая в первой четверти.
Тогда y= 
. Найдем дифференциал дуги dl= 
dx
y′=- 
; 
= 
; 1 + 
1 + 
= 
Тогда dl= 
dx
2ydl= 
dx=R 
dx= 
Пример: вычислить 
dl, где АВ - дуга кубической параболы y=x3 от точки (1;1) до точки (2;8)
Найдем дифференциал дуги dl= 
dx
y′=3x2; 
9x4; 
9x4;
Тогда dl = 
dx
d l= 
dx = 
dx- 
=J1-J2
J1= 
dt
= 
· 
= 
·( 
- 
)
J2= 
= 
= 
J1-J2= ·( 
- )- 
Пример: найти массу одной арки циклоиды, считая плотность постоянной, равной единице.
x =a(t- 
); y=a(1- 
); 0≤t≤2π
Найдем дифференциал дуги
dl= 
=a(1- 
); 
=a 
;
+ 
=a2(1+2 + 
+ 
= a2(1+2 +1)=
a2(2+2 )=2 a2(1+ )=4 a2 
Тогда dl=2a 
dt
m= 
=-4a 
=-4a(-1-1)=8a
Пример: найти массу дуги однородной пространственной кривой
(a>0)
от точки О(0,0,0) до точки А(x0, y0, z0).
Если в задаче сказано, что дуга однородная, принимаем плотность f(x,y,z)=const= 1.
|
|
|
Найдем массу дуги по формуле m= 
при dl= 
dl= 
= 
dx= 
m= = 
· 
= 
= 
= 
Пример: найти статический момент относительно плоскости XOY части
однородной конической винтовой линии.
x =t ∙cos t, y= t∙ sin t, z=t при 0≤t≤t0
Mxoy= 
dl= 
= (tcos(t))′=t′cos(t)+t(cos(t))′=cos(t)-tsin(t)
=(tsin(t))′=t′sin(t)+t(sin(t))′=sin(t)+tcos(t)
dl= 
dt=
= 
=
= 
dt= 
dt
f(x,y,z)=const=1
Mxoy= 
= 
dt= 
=
= 
= 
dx= 
= 
( 
)= 
( 
- 
)
Пример: найти центр тяжести однородной дуги.
(-∞< t ≤ 0) 
Примем плотность f(x,y,z)=const= 1
m= 
dl
dl= 
ẋ= 
- 
= 
(cost-sint)
ẏ= 
+ 
= 
(sint+cost)
ż=
dl= 
dt= 
= 
dt
m= 
= 
= 
( 
- 
)=
Myoz= 
Myoz= 
*costdt= 
*costdt= 
( 
(sint+2cost) 
=
= * 
*2=0.4
При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям”
*costdt 
dt 
=
= 
*cost-4 
*costdt
5 *costdt= *cost
*costdt= 
Mzox= 
Mzox= 
*sintdt= 
( 
(cost-2sint) 
=
= *( - 
)*1=- 0.2
При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям”
*sintdt 
=- 
*cost 2 
+ 
=
=- 
*cost+2 *sint- 4 *costdt
5 
=- *sint+2 *cost
=- 
Mxoy= 
Mxoy= 
dt= 
= 
= 
* =0.5
Координаты центра тяжести:
xц.т.= 
= 
=0.4
yц.т.= 
= 
=-0.2
zц.т.= 
= 
=0.5
6. Поверхностный интеграл первого рода
Пусть S – поверхность в трёхмерном пространстве Оxyz, а F(x,y,z) непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS1, ΔS2,...., ΔSi,..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек (рис.6.1). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами Si(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков через λ. На каждом "элементарном" участке ΔSi произвольным образом выберем по точке Mi(xi,yi,zi) (i = 1,...,n) и составим сумму
которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.
Если существует конечный предел
не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек Mi 
ΔSi(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции F(x,y,z) по поверхности S и обозначается
Если поверхность S задана уравнением z= f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные f'x(x,y) и f'y(x,y) непрерывны в замкнутой области координатной плоскости Oху, а функция F(x,y,z) непрерывна на S, то интеграл
существует.
Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам. Пусть выполнены все условия, приведенные выше, тогда, обозначив проекцию ΔSi (и площадь проекции) на плоскость Oxy через ΔDi, по теореме о среднем будем иметь:
где (xi, yi) ΔDi, а, следовательно,
при данном выборе точек Mi. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции
Переходя к пределу, получаем:
Свойства поверхностного интеграла первого рода
1. Если положить F(x,y,z)=1, то интеграл будет численно равен площади поверхности S.
2.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
3.Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых.
4.Если область S состоит из 2-х частей, описываемых разными уравнениями, то
5.Если F(x,y,z)≥ φ (x,y,z) то
6.
6.2. Задачи на механические приложения поверхностного интеграла 1-ого рода.
1.Если F(x,y,z) - плотность вещества, то масса поверхности S
2.Если F(x,y,z)=1, то интеграл численно равен площади поверхности S.
3.Статистические моменты относительно координатных плоскостей
4.Моменты инерции относительно координатных осей
5.Моменты инерции относительно координатных плоскостей
|
|
|
6.Координаты центра масс
Пример: вычислить поверхностный интеграл
где S - поверхность конуса
при 1≤ z ≤2 (рис.6.2)
Очевидно, что поверхность S проектируется на плоскость Oxy в кольцо D: 1 ≤x2+y2 ≤2
В области D функция
и её производные
и
непрерывные функции.
Следовательно,
Пример: вычислить поверхностный интеграл I рода.
где S – часть плоскости x+y+z=1, лежащая в I октанте.
z=1-x-y, zx’=-1; zy’=-1
рис.6.3.
Пример: найти массу поверхности полусферы
если в каждой её точке поверхностная плоскость вещества пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси Oz.
Имеем
и, следовательно,
x2+y2≤4 – переходим в полярную систему координат
Масса поверхности полусферы равна 
.
Пример: найти моменты инерции однородной треугольной пластины x+y+z=1 при (x≥0;y≥0;z≥0) относительно координатных плоскостей.
Моменты инерции относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам:
где µ - плотность пластины (у однородной пластины µ=1).
рис.6.4.
Моменты инерции равны между собой, т.к. пластина расположена симметрично относительно осей координат в первом октанте.
Таблица производных
(u+v-w)′=u′+v′+w′ c′=0 x′=1
(u·v)′= u′v + v′u
(c·u)′= c·u′
′= 
(un)′x= n·un-1·u′x (xn)′= n·xn-1
( 
)′= 
( 
)′= 
′= - 
′= - 
(au)′x= au·lna·u′ (ax)′= ax·lna
(eu)′= eu·u′ (ex)′= ex
(lnu)′= 
(lnx)′= 
(logau)′= 
(logax)′= 
(lgu)′= 
(lgx)′= 
( 
)′x= 
·u′ ( 
)′= 
( 
′x=- 
·u′ ( 
)′= - 
(tgu)′= 
(tgx)′= 
|
|
|
(ctgu)′= - 
(ctgx)′= - 
(arccosu)′x= - 
(arccos x)′= - 
(arcsinu)′x= 
(arcsin x)′= 
(arctgu)′x= 
(arctgx)′= 
(arcctgu)′x= 
(arcctgx)′= - 
| № п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
| 1 |
| Подстановка φ(x)=t |
| 2 |
|
Интегрирование по частям
 =f(x)φ(x)- 
Метод интегрирования по частям применяется, например, к интегралам вида  , где
p(x) – многочлен,
eax;cos ax;sin ax;lnx;arctg x;arcsin x и т.п.,а
также к интегралам от произведений показательной функции на косинус или синус.
|
| 3 |
 (x)dx
|
Сводится к интегрированию произведения
 (x)φ(x) с помощью формулы кратного
интегрирования по частям:  (x)dx=
=f(x)  -f′(x)  +
+f′′(x)  (x)-…
…+(-1)n-1f(n-1)(x)φ(x)+
+(-1)n 
|
| 4 |
 pn(x)dx
| Применяя формулу кратного интегрирования по частям,
получим
 pn(x)dx=  +C
|
| 5 |
P3-4q<0
|
Подстановка
x+  =t
|
| № п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
| 6 |
In= 
| Применение рекуррентной формулы
In=  +  In-1
|
| 7 |
 dx, где  -правильная
рациональная дробь,
Q(x)=(x-x1)′(x-x2  ...
…( +px+q  …
| Подынтегральную дробь представляют в виде суммы простейших дробей
 =  +  +…+  +
+  +  +…
 +…+  +
 +…+  +…
|
| 8 |
 ,…,  )dx,
где R-рациональная функция своих аргументов
| Приводится к интегралу от рациональной дроби
подстановкой x=  , где k – общий знаменатель дробей
 ,…, 
|
| 9 |
 dx
| Сводится к интегралу от рациональной дроби
подстановкой
 = 
|
| 10 |
 dx
|
Подстановкой x +  =t интеграл приводится к
сумме двух интегралов
 dx=M1  +
+N1 
Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции, а второй интеграл – табличный.
|
| № п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
| 11 |
 )dx,
где R –рациональная функция
от x и 
| Приводится к интегралу от рациональной дроби
подстановками Эйлера
 = t±x  (a>0),
=tx±  (c>0)
=t(x-  ) (4ac-  ),
где - корень трехчлена 
Для вычисления указанного интеграла применяются также тригонометрические подстановки:
x+  =  (a<0, 4ac-b2<0)
x+ =  (a>0, 4ac-b2<0)
x+ =  (a>0, 4ac-b2>0)
|
| 12 |
 dx
где  - многочлен степени n
| Записываем равенство
 =Qn-1(x)  +
+k  ,
где Qn-1(x)- многочлен степени n-1
Дифференцируя обе части этого равенства и умножая на  , получим тождество
 )= Qn-1(x)( +
+  Qn-1(x)(2ax+b)+k
Которое дает систему n+1 линейных уравненений для определения коэффициентов многочлена Qn-1(x) и множителя k.
Интеграл же
берется методом, указанным в п.10 (M=0;N=1)
|
| № п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
| 13 |
| Этот интеграл приводится подстановкой
 =  к интегралу рассмотренному выше.
|
| 14 |
 (a+b  )pdx,
Где m,n,p-рациональные числа (интеграл от биноминального дифференциала)
| Интеграл от биноминального дифферециала
выражается через элементарные функции только при выполнении одного из следующих условий:
1) если p-целое число
2) если  – целое число
3) если  + p – целое число
1-й случай
а)если p-целое положительное число,то нужно раскрыть скобки (a+b  )p по биному Ньютона и вычслить интегралы от степеней;
б)если p- целое отрицательное число, то
подстановка x =  , где k – общий знаменатель дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби;
2-й случай
если - целое число, то применяется
подстановка a+b =tk, где k – знаменатель дроби p;
3-й случай
если  - целое число, то применяется
подстановка a+b = tk, где k – знаменатель дроби p;
|
| 15 |
| Универсальная подстановка tg  =t
Если R(-  = - R( , то
подстановка  =t.
Если
R( ,то
подстановка  =t.
Если
R( ,то
подстановка  =t.
|
| № п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
| 16 | R(sh x, ch x)dx | Применяется подстановка th  =t.
При этом
sh x=  ;ch x=  ;dx= 
|
| 17 |
| Необходимо преобразовать произведение
тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул:
= 
 =
= 
 =
= 
|
| 18 |
 ,
где m и n – целые числа
| Если m-нечетное положительное, то подстановка
=t.
Если n-нечетное положительное, то подстановка
 =t.
Если m+n-четное отрицательное, то подстановка
tgx=t.
Если m и n –четные неотрицательные, то применяют формулы:
 =  ;  = 
|
| 19 |
 ,
(0<x<  )
p и q- рациональные числа
|
Подстановкой =t приводится к интегралу от
биноминального дифференциала
 =tp(1-t2  dt
|
| 20 |
 )dx
|
Постановка  преобразуется в интеграл от рациональной функции.
|
Варианты заданий на несобственные интегралы и ФМП
Вариант № 1
