2020-04-07
208
Пример. Найти корни уравнения 
.
Решение. 
, 
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Кстати, как видно, получаются именно 2 взаимно сопряжённых корня.
Проверка. Подставим, например, 
в уравнение.
= 
= 
= 
.
Действительную и мнимую часть 
для числа 
можно выразить через 
.
Докажем такие формулы: 
, 
Доказательство.
Сложим и 
.
= 
, тогда 
.
Вычтем 
и 
.
= 
, тогда .
Тригонометрическая форма комплексного числа. Введём величину 
тогда 
можно представить в таком виде: 
, 
для некоторого 
, ведь геометрически в этом случае 
- катеты прямоугольного треугольника, 
- его гипотенуза.
Абсцисса и ордината точки 
на плоскости это проекции на оси, они равны 
и 
соответственно. Эти величины 
и и есть полярные координаты точки на плоскости. Если записать комплексное число 
с помощью введённых выше величин 
и 
, получим: 
= 
= 
.
Выражение 
называется тригонометрической формой комплексного числа, - его аргументом, - модулем.
.
Понятие модуля согласуется с известным понятием, применявшимся раньше для отрицательных чисел: модуль - расстояние по кратчайшей линии до начала координат.
Для любой точки модуль вычисляется как 
. Для вычисления аргумента верна формула 
если точка в 4-й и 1-й четверти, либо 
, если во 2-й и 3-й четверти.
Так, число 
запишется в виде 
.
Число 
соответствует 
.
Если вычислить синус и косинус, то снова перейдём к обычной, «алгебраической» форме числа:
= 
= 
.
Действительное число имеет аргумент 0 (если оно положительно) или 
(если оно отрицательно).
Угол может определяться разными способами, так, например, вместо угла 
во всех вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать 
, и это не будет ошибкой, так как тригонометрические функции повторяются через промежуток 
.
Умножение и деление в тригонометрической форме
В тригонометрической форме: 
Докажем эту формулу.
= 
=
=
используем известные тригонометрические формулы косинуса суммы и синуса суммы, и получим .
