Таким образом, для умножения двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, достаточно просто умножить их модули и сложить аргументы

Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме: = .

Для её доказательства достаточно домножить на :

= = =

Для деления двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, нужно поделить их модули и вычесть аргументы.

Заметим, что при умножении на мнимую единицу , а именно при действии , фактически вектор на плоскости переходит в , то есть как раз и прибавляется аргумент числа , то есть 90 ⁰.

Примеры.

Умножить . Во-первых, это можно сделать и без триг.формы:

= = .

В тригонометрической форме: (используем представление чисел, которое сделали ранее).

= . = .

= =

= .

Поделить .

= , = . Тогда

= =

= = .

Формула Эйлера

Доказательство.

Способ 1.

Производная по :

= = .

Способ 2. Вспомним разложение экспоненты по формуле Тейлора.

Тогда вычислим

Но ведь , , ,...

Тогда теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет , и где есть .

но ведь в 1 и 2 скобках - разложения и . Итак, , что и требовалось доказать.

= ,

= =...

Воспользуемся чётностью cos и нечётностью sin. Тогда:

= .

Для любого числа можно вычислить :

= = = = .

Для сопряжённого числа можно вычислить аналогично:

= = = = .

То есть, сопряжённое под знаком экспоненты приводит к сопряжённому результату.

Показательная форма комплексного числа.

По формуле Эйлера, выражение может быть записано в виде .

Так, например, мнимой единице соответствует аргумент и модуль 1, поэтому запись в тригонометрической и показательной формах такова:

Умножение и деление в тригонометрической и показательной форме.

Умножение, и особенно деление комплексных чисел чаще всего бывает легче выполнять в тригонометрической форме, чем в алгебраической, так как для деления не нужно домножать на сопряжённое в знаменателе.

В показательной форме.