Порядок элемента группы. Циклические группы

Пусть  – группа,  – ее единичный элемент, .

Определение. Порядком элемента  группы называется наименьшее натуральное число , такое, что . Если   для любого натурального числа , то  называют элементом бесконечного порядка.

Примеры

5.1. В мультипликативной группе комплексных чисел

1) порядок  равен , так как ;

2) порядок  равен , так как , ;

3) порядок  равен 3, так как , , ;

4) порядок  равен , так как , , , ;

5) порядок  равен , так как , , , ;

6) число  – элемент бесконечного порядка, так как  при .

5.2. В мультипликативной группе невырожденных квадратных матриц второго порядка с действительными элементами

1) порядок матрицы  равен , так как ,   = ;

2) порядок матрицы  равен , так как , , ,

;

3) матрица  – элемент бесконечного порядка, так как ,

, , можно доказать методом математической индукции  при .

Циклические группы

Определение. Мультипликативная группа  называется циклической, если основное множество группы состоит из степеней какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы.

, где  – образующий элемент.

Определение. Аддитивная группа   называется циклической, если ее основное множество состоит из кратных какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы.

, где   – образующий элемент группы.

Теорема 1. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка  изоморфны между собой.

Теорема 2. Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа.

Примеры

5.4.  – аддитивная группа целых чисел.

  или

следовательно,  – циклическая группа с образующим элементом  или .

5.5. Аддитивная группа  является циклической с образующим элементом  или . Этот результат следует из примера 5.3.

5.6. Выясните, является ли мультипликативная группа корней 6-ой степени из 1 циклической. Если да, то найдите все ее образующие элементы.

Решение.

, где  – единичный элемент. Найдем порядок каждого элемента группы, для чего используем таблицу Кэли задачи 1.10.

, порядок  равен ;

, , , , , , порядок  равен 6, видим, что множество  состоит из степеней элемента , следовательно, группа  – циклическая, с образующим элементом ;

, , , порядок  равен ;

, ,  порядок  равен ;

, , , порядок  равен ;

, , , , , , порядок  равен . Видим, что элемент  также является образующим элементом данной группы.

Вывод: группа  является циклической, с образующим элементом  или .

5.7. Найдите порядок каждого элемента симметрической группы 3-ей степени. Выясните, какие циклические подгруппы данной группы они порождают.

Решение.

Дана группа , где ,  – единичный элемент данной группы.

При решении используем результаты примера 2.7:

, порядок  равен . Единичная подгруппа   – циклическая;

, ,  порядок  равен . Кроме того, подгруппа   является циклической, с образующим элементом ;

, , , порядок  равен , а подгруппа   является циклической, с образующим элементом ;

Аналогично:

, , порядок  равен , подгруппа  – циклическая, с образующим элементом ;

, , , порядок  равен . Видим, что элемент  еще один образующий элемент подгруппы ;

, ,  порядок  равен , подгруппа  – циклическая, с образующим элементом .

Вывод: группа  циклической не является, но все подгруппы этой группы, кроме самой группы, циклические. Подгруппа  имеет два образующих элемента  и .

5.8. Докажите, что множество , состоящее из матриц , , , , является подгруппой мультипликативной группы невырожденных квадратных матриц 2-го порядка с действительными элементами. Является ли эта группа абелевой? Является ли она циклической? Каковы ее образующие элементы?

Решение:

.

Составим таблицу умножения для матриц из множества

×

 

Из таблицы видим, что умножение – алгебраическая операция в , операция умножение – коммутативна, так как таблица симметрична относительно главной диагонали, в алгебре , , , . По критерию подгруппы, алгебра  - подгруппа мультипликативной группы невырожденных матриц с действительными элементами, причем абелева.

Найдем порядок каждого элемента подгруппы

, следовательно, порядок  равен ;

, ,  порядок  равен ;

, , , , порядок  равен , кроме того подгруппа  – циклическая, так как множество G состоит из степеней матрицы , т.е. матрица  является образующим элементом подгруппы ;

, , , , порядок  равен 4, матрица  – образующий элемент подгруппы .

Изоморфизм групп

Пусть даны группы  и .

Определение. Группы  и  называются изоморфными, если существует отображение j множества  на множество , удовлетворяющее условиям:

1)  - инъективное отображение множества  на множество , т.е.

 если , то ;

2) , .

Обозначают .

Примеры

6.1. Докажем, что аддитивная группа целых чисел изоморфна аддитивной группе четных чисел.

Решение.

и   – данные группы. .

Зададим отображение  множества  на множество  формулой: , :

1)  - инъективное отображение, так как для любых  и ,  и если , то , т.е. ;

2) .

По определению,  - изоморфизм группы  на группу , следовательно, .

6.2. Докажите, что аддитивная группа четных чисел изоморфна мультипликативной группе целых степеней числа .

Решение:

Даны группы , , где , .

Зададим отображение  множества  на множество  формулой , :

1) отображение  - инъективное, так как , ,  и если , то , , и ;

2) .

По определению, .

6.3. Докажите, что аддитивная группа действительных чисел изоморфна мультипликативной группе положительных действительных чисел.

Решение:

 и  – данные группы.

Зададим отображение   множества    на множество  формулой , :

1. отображение  - инъективное, так как ,   и если , то , то есть ;

2. .

По определению, .

6.4. Докажите, что мультипликативная группа матриц вида ,  изоморфна аддитивной группе действительных чисел.

Решение:

Пусть , где ,  – данные группы.

Зададим отображение  множества  на множество  формулой:
, :

1.  - инъективное отображение, так как , , если , то ;

2. ,

.

По определению,  - изоморфизм группы  на группу , следовательно, .