Упражнения для самостоятельного решения

1 2 3 4 5 6 7

6.6. Докажите, что следующие аддитивные группы изоморфны между собой:

а) ,где и , где

б) и ;

в) и ;

г) , где и ;

д) , где и , где .

6.7. Докажите, что мультипликативная группа невырожденных квадратных матриц вида , где , изоморфна мультипликативной группе действительных чисел .

6.8. Среди следующих групп укажите все пары изоморфных между собой групп: , , , , , , , , , , , .

6.9. Докажите, что мультипликативная группа матриц

изоморфна мультипликативной группе корней 4-ой степени из 1.

Кольца

Понятие кольца

Рассмотрим алгебру с двумя бинарными алгебраическими операциями. Операции будем называть сложением и умножением и обозначать .

Определение. Алгебра с двумя бинарными алгебраическими операциями называется кольцом, если:

1) алгебра есть абелева группа;

2) операция умножения ассоциативна, то есть для любых , ;

3) Операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения, то есть для любых , и .

Если операция умножения коммутативна, то есть для любых , , то кольцо называется коммутативным.

Если кольцо содержит элемент , нейтральный относительно умножения, то называется единицей кольца, кольцо называется кольцом с единицей.

Примеры

1.1. Алгебра – коммутативное кольцо с единицей. Действительно:

1) алгебра – абелева группа;

2) операция умножения ассоциативна в ;

3) операция умножения в дистрибутивна относительно сложения.

Кроме того, выполняется коммутативный закон умножения.

Кольцо называется кольцом целых чисел.

1.2. Аналогично, алгебры , , – коммутативные кольца с единицей.

1.3. Пусть – множество целых чисел, кратных данному натуральному числу .

В первой части доказано, что – абелева группа.

Докажем, что умножение – алгебраическая операция в , то есть .

Действительно:

, , где , тогда , где , значит, и умножение – алгебраическая операция в .

Рассмотрим алгебру :

1) – абелева группа;

2) коммутативный, ассоциативный законы умножения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения в выполняется, так как они выполняются в , а .

Алгебра - коммутативное кольцо, которое называется кольцом целых чисел, кратных данному натуральному числу .

1.4. Рассмотрим множество чисел вида , где и – целые числа.

Докажем, что сложение и умножение – алгебраические операции в , то есть , .

Действительно:

, , ; , , значит, , , , значит . Следовательно, сложение и умножение - алгебраические операции в .

Рассмотрим алгебру :

а) коммутативный, ассоциативный законы сложения и умножения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения в выполняются, так как они выполняются в , а ;

б) , так как , ;

в) .

Действительно:

, , , значит, .

Вывод: Алгебра – коммутативное кольцо с единицей.

1.5. Аналогично, алгебра – коммутативное кольцо с единицей.

1.6. Рассмотрим множество чисел вида , – мнимая единица, . Сложение и умножение – алгебраические операции в , так как для любых , .

Действительно:

, , .

. , причем , , , – целые числа, значит , .

Рассмотрим алгебру :

б) , так как , где ;

в) .

Действительно, , , , причем , значит, .

Вывод. Алгебра является коммутативным кольцом с единицей. Это кольцо впервые изучал великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Поэтому кольцо называют кольцом целых гауссовых чисел.

Элементами колец из примеров 1.1 – 1.6 являются числа с обычными операциями сложения и умножения. Такие кольца называются числовыми.

Рассмотрим несколько примеров колец, не являющихся числовыми:

1.7. Пусть – произвольное числовое кольцо.

Из теории многочленов известно, что множество всех многочленов от переменной с коэффициентами из

образует коммутативное кольцо относительно сложения и умножения многочленов. В частности, – кольцо многочленов с целыми коэффициентами; , , – кольца многочленов соответственно с рациональными, действительными и комплексными коэффициентами.

1.8. Пусть – произвольное числовое кольцо. Обозначим множество квадратных матриц порядка с элементами из . Из теории матриц известно, что множество образует кольцо относительно сложения и умножения матриц. Это кольцо не коммутативное. Например – кольцо квадратных матриц второго порядка с действительными элементами.

1.9. Рассмотрим множество всех действительных функций, непрерывных на множестве . Это множество обозначим . Сложение и умножение – алгебраические операции на множестве , так как сумма и произведение функций, непрерывных на множестве , есть функции, непрерывные на множестве . Непосредственная проверка показывает, что алгебра – коммутативное кольцо с единицей.

Подкольца

Определение. Пусть – кольцо, , сложение и умножение – алгебраические операции в . Алгебра называется подкольцом кольца , если она сама является кольцом.

Примеры

2.1. , , , – кольца, причем , следовательно , , , – подкольца кольца .

2.2. , – кольца, причем , следовательно, – подкольцо кольца .

2.3. – произвольное кольцо, по определению кольца, . – кольцо, причем и , значит, и – подкольца кольца .

Критерий подкольца

Пусть – кольцо, , сложение и умножение – алгебраические операции в . Для того, чтобы алгебра была подкольцом кольца , необходимо и достаточно, чтобы .

Примеры

2.4. Пусть - кольцо квадратных матриц 2-го порядка с действительными элементами, – множество всех диагональных квадратных матриц 2-го порядка, то есть множество матриц вида . Докажите, что множество L образует относительно сложения и умножения подкольцо кольца .

Решение:

. Очевидно, . Докажем, что сложение и умножение – алгебраические операции в , то есть , , .

Действительно:

, , . , . . , , .

Рассмотрим алгебру : .

Действительно, , , значит, . По критерию подкольца, подкольцо кольца .

Поля

Определение. Алгебра , содержащая не менее двух элементов называется полем, если:

4) алгебра есть коммутативное кольцо;

5) в Р существует единичный элемент, т.е. ae=ea=a;

6) существует обратный элемент , такой, что .

Примеры.

3.1. Алгебра есть поле, т.к.

1) коммутативное кольцо;

2) ;

3) для любого существует обратный элемент

3.2. Аналогично , - поля.

3.3. Коммутативное кольцо полем не является, т.к. не выполняется условие 3.

3. 4. Коммутативное кольцо является полем.

3. 5. Множество матриц вида образует поле относительно матричного сложения и умножения, а множество матриц полем не является, но является коммутативным кольцом с единицей.