Сравнения и классы вычетов по идеалу

Пусть  - коммутативное кольцо,     J -  идеал этого кольца, тогда алгебра   - подкольцо данного кольца, а значит сама является кольцом. По определению кольца,  - аддитивная абелева группа,  - ее подгруппа, причем, т.к.   абелева, то  - нормальный делитель этой группы. Следовательно, он определяет разбиение группы   на непересекающиеся смежные классы по подгруппе .

В кольце   эти смежные классы называются классами вычетов по идеалу J. Множество классов вычетов кольца   по идеалу J будем обозначать K/J.

Пример

5.1. Пусть  - кольцо целых чисел,     J =(3), J=3Z.

Построим классы вычетов кольца  по идеалу J=3Z.

Z/3Z={3Z, 1+3Z, 2+3Z} – множество классов вычетов кольца  по идеалу J=(3)=3Z.

Определение. Элементы a и b кольца  называются сравнимыми по идеалу J, если .

Этот факт обозначают .

Например, в кольце   для идеала J =(3)

, т.к. 19-4=15

Критерий сравнимости по идеалу

Для того чтобы два элемента кольца  были сравнимы по идеалу J данного кольца необходимо и достаточно, чтобы они принадлежали одному классу вычетов по идеалу J.

Фактор-кольцо

Рассмотрим множество классов вычетов кольца  по идеалу , т.е. множество смежных классов группы  по подгруппе .

, где .

На этом множестве в I части была определена операция сложения классов и доказано , т.е. сложение есть алгебраическая операция на множестве .

Определим произведение классов вычетов по идеалу .

Определение. Произведением классов  и  назовем класс, в котором лежит произведение , т.е. .

Можно доказать, что наше определение не зависит от выбора элементов в классах , . Это означает, что операции умножения - алгебраическая на множестве .

Теорема. Алгебра  является кольцом.

Это кольцо называется фактор-кольцом кольца  по идеалу .

Примеры

5.2. Постройте фактор-кольцо кольца  по идеалу . Составьте таблицы сложения и умножения классов.

Решение: Классы вычетов кольца  по идеалу  построены в примере 5.1. - множество классов вычетов кольца  по идеалу  ().

 - фактор-кольцо кольца  по идеалу .

Таблица сложения					Таблица умножения

Из таблицы видим: нулевой элемент - класс , противоположные элементы , , . Единичный элемент - класс .

5.3. Постройте фактор-кольцо кольца  по идеалу . Составьте таблицы сложения и умножения классов.

Решение: . По определению главного идеала , , видим, что идеал  состоит из целых чисел Гаусса с четными действительной частью и коэффициентом при мнимой части.

Разбиваем множество  на попарно непересекающиеся классы по идеалу .

;

;

.

Класс вычетов  состоит из целых чисел Гаусса с нечетной действительной частью и четным коэффициентом при мнимой части. Класс  состоит из целых чисел Гаусса с четной действительной частью и нечетным коэффициентом при мнимой части. Наконец, класс  состоит из целых чисел Гаусса с нечетными действительной частью и коэффициентом при мнимой части. Никаких других классов вычетов, которые были бы отличны от найденных, получить нельзя.

- множество классов вычетов кольца целых чисел Гаусса по идеалу .

 - фактор-кольцо кольца  по идеалу .

Таблица сложения

Таблица умножения

Из таблицы видим, что класс  - нулевой элемент фактор-кольца, класс - единичный элемент, противоположные элементы:

, , ,

5.4. Укажите числа, принадлежащие одному классу вычетов по идеалу  в кольце : , , , , , , , , , , , .

Решение: Используя результаты задачи 5.3, получаем:

классу  принадлежат числа , ;

классу  - числа , , , ;

классу - числа , ;

классу  - числа , , , .