Определить тип дифференциального уравнения и решить его

6 7 8 9 10 11 12

Решение:

Теоретический минимум

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение(НЛДУ):

Функция показывает, что уравнение неоднородное.

Если , уравнение становится однородным (ОЛДУ).

Структура решения неоднородного линейного дифференциального уравнения:

Идея решения ОЛДУ состоит в том, что его ищут в виде . Подставив это решение в ОЛДУ, получим

– характеристическое уравнение.

Корни характеристического многочлена определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения (Таблица 4).

Таблица 4 Решение линейного однородного дифференциального уравнения

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения ЛОДУ
- различные действительные корни
- корни кратности 2 (совпадают)
- комплексно сопряженные корни

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида:

необходимо воспользоваться таблицей 5.

Таблица 5 Решение НЛДУ с правой частью специального вида

Правая часть ДУ	Характеристические корни ЛОДУ	Вид частного решения
n,m – степени многочленов и .	Числа не являются корнями характеристического уравнения
n,m – степени многочленов и .	Числа являются корнями характеристического уравнения кратности r
, причем степень многочленов может быть и нулевой, то есть они представляют из себя некоторые числовые константы	Числа не являются корнями характеристического уравнения
	Числа являются корнями характеристического уравнения кратности r
	Число не являются корнями характеристического уравнения
	Число являются корнями характеристического уравнения кратности r
	Число 0 не являются корнями характеристического уравнения
	Число 0 являются корнями характеристического уравнения кратности r

________________________________________________

Нам дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение

Его правая часть может быть разбита на 2 слагаемых, каждое из которых будет представлять собой правую часть специального вида.

Решим сначала соответствующее однородное дифференциальное уравнение:

Составим характеристическое уравнение: .

Тогда (см. табл.4)

Рассмотрим два ЛНДУ с правыми частями специального вида:

1) Решим первое: . (1)

Согласно теореме о структуре решения НЛДУ необходимо найти частное решение данного неоднородного уравнения (см. табл.5).

Для общий вид правой части:

не совпадает с корнями характеристического уравнения.

Тогда .

Отсюда

Найдем неопределенные коэффициенты подставив частное решение в уравнение (1).

Таблица 6 Подстановка частного решения с неопределенными коэффициентами



=

Приравняем коэффициенты при одинаковых выражениях в левой и правой частях равенства:

Решив систему линейных уравнений

получим .

Аналогично ищем частное решение уравнения для второй правой части специального вида:

2) (2)

Для общий вид правой части:

совпадает с корнем характеристического многочлена дважды, поэтому:

Найдем неопределенный коэффициент подставив частное решение в уравнение (2).

Приравняем коэффициенты при одинаковых выражениях в левой и правой частях равенства:

Значит, А=1.

Объединим все решения в одно:

Ответ:

Задание 4.3.

Решить задачу Коши

Решение:

Теоретический минимум

________________________________________________

Решить задачу Коши – значит найти частное решение дифференциального уравнения, учитывая начальные условия.

От порядка дифференциального уравнения зависит, сколько произвольных констант будет в его общем решении.

одна произвольная константа. Для того чтобы найти ее значение необходимо одно начальное значение: .

У дифференциальных уравнений второго порядка в общем решении две произвольные константы. Для решения задачи Коши нужно два начальныхусловия:

При решении дифференциальных уравнений второго порядка, не являющихся линейными, применяют метод понижения порядка уравнения:

1) если в уравнении отсутствует переменная y: , то рекомендуется замена:

2) если в уравнении отсутствует переменная x: , то рекомендуется замена:

________________________________________________

Данное дифференциальное уравнение не является линейным и имеет второй порядок производной.

Решим его методом понижения порядка.

Уравнение не содержит переменной х, поэтому заменим на новую переменную, зависящую от у.

(*)

I Случай.

Если y , то подставив его в исходное уравнение, получим верное равенство. Значит, y – особое решение уравнения.

II Случай.

Если y , то разделим на уравнение (*).

Получили уравнение вида

Это уравнение Бернулли.

Оно решается с помощью подстановки

Идея решения данного уравнения с двумя неизвестными функциями заключается в сведении его к системе из двух уравнений.

Предположим, что

тогда

Получим систему

Решим первое уравнение системы.

1) Если , то это означает, что . Так как , то . Подставляя константу в исходное уравнение , получим, что . Но мы рассматриваем случай y . Получили противоречие.