Задание. Найти длину дуги, заданной функцией

на отрезке [1,e].

Решение:

Теоретический минимум

________________________________________________

С помощью определенного интеграла можно найти длину дуги (рис. 8), заданной функцией, как в явном, так и в параметрическом виде, а также в полярной системе координат.

Рис. 8

1. В декартовых координатах:

2. В полярных координатах: r

3. Параметрически: x

1. В декартовых координатах:

2. В полярных координатах:

3. Параметрически:

В случае параметрической функции и функции в полярной системе координат в пределах интегрирования стоят соответственно .

В нашем случае

Ответ: длина дуги равна

Задание 3.3.

Определить, сходится ли данный интеграл. Если сходится, то к какому числу.

Решение:

Теоретический минимум

________________________________________________

Пусть функция непрерывна на интервале Тогда она будет непрерывна на любом интервале где и существует интеграл

Несобственным интегралом 1-го рода называется интеграл, определяемый равенством

Если соответствующий предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл 1-го рода сходится, иначе несобственный интеграл называют расходящимся.

Аналогично, если функция непрерывна на промежутке интегрирования, то интегралы вида также являются несобственными интегралами1-го рода.

________________________________________________

Интеграл

Имеет неограниченный верхний предел интегрирования. Внутри полуинтервала подынтегральная функция непрерывна. Значит, перед нами несобственный интеграл 1 рода.