2020-04-07
251
.
Решение:
Теоретический минимум
________________________________________________
Рассмотрим основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные или дифференциалы, называются дифференциальными.
Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение.
Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде 
.
Аналогично, дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде 
.
Решить дифференциальное уравнение - значит найти такую непрерывную дифференцируемую n раз функцию 
, которая при подстановке в это уравнение превращает его в верное равенство (n – это порядок дифференциального уравнения).
Среди дифференциальных уравнений первого порядка рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные и уравнения Бернулли (Таблица 3).
Таблица 3. Решение ДУ первого порядка
| № | Название ДУ | Вид ДУ | Схема решения ДУ |
| 1 | Уравнение с разделяющимися переменными | 
или
| Разделяем переменные
и интегрируем обе части уравнения.
|
| 2 | Однородное |  или 
| Подстановка  приводит уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
|
| 3 | Линейное | 
| Подстановка Бернулли  , приводит исходное уравнение к виду:  Из условия  находим  , подставляем в уравнение  получаем 
|
| 4 | Уравнение Бернулли | 
| Подстановка Бернулли 
|
________________________________________________
|
|
|
Уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Действительно, разделив обе его части на xy получим:
Сделаем замену:
Однородное уравнение свелось к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.
Задание 4.2.
