2020-04-07
140
Задание 3.1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Решение:
Теоретический минимум
________________________________________________
Геометрический смысл определенного интеграла
– это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
, осью Ох и прямыми 
Рис. 2
Если график функции находится под осью Ох, то
Случай 1. Пусть фигура в плоскости 
ограничена прямыми 
и кривыми 
причем 
на отрезке 
(рис. 3).
Площадь 
такой фигуры может быть найдена по формуле:
Случай 2. Пусть фигура в плоскости ограничена прямыми 
и кривыми 
причем 
на отрезке 
(рис. 4).
Площадь такой фигуры может быть найдена по формуле:
Рис. 3
| 
Рис. 4
|
Вычисляется определенный интеграл по формуле Ньютона – Лейбница:
Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, сначала вычисляем соответствующий ему неопределенный интеграл, а затем применяем формулу Ньютона-Лейбница, подставляя сначала верхний предел интегрирования, а затем – нижний.
_______________________________________________
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
построим их графики (рис. 5).
Рис. 5
Вычислим каждый интеграл отдельно.
Решим сначала неопределенный интеграл, а затем подставим пределы интегрирования. Применим метод интегрирования по частям.
Интеграл
вычислим аналогично.
Объединим оба решения
Задание 3.2.
Нечетные варианты содержат задание на вычисление объема тела вращения, а нечетные – вычисление длины дуги. Рассмотрим оба варианта.
Задание. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций
Решение:
Теоретический минимум
________________________________________________
Еще одним из приложений определенного интеграла является нахождение объема тела вращения.
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой 
и прямыми 
(рис. 6), вращается вокруг оси 
то объем тела вращения может быть вычислен по формуле:
Аналогично, если криволинейная трапеция, ограниченная кривой 
и прямыми 
(рис. 7), вращается вокруг оси 
то объем тела вращения может быть вычислен по формуле:
Рис. 6
|
Рис. 7
|
________________________________________________
Изобразим тело вращения, полученное путем вращения фигуры вокруг оси Ох (Рис. 8).
Графики функций 
и 
пересекаются в точке (1,1).
Рис. 8
Фигура, вращаемая вокруг оси Ох ограничена сверху двумя графиками функций, соответственно, тело вращения состоит из двух частей:
1) образованной вращением криволинейной трапецией с границей
2) образованной вращением криволинейной трапецией с границей
Тогда 
.
