Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

Электромагнитная сила, действующая на заряженную частицу, складывается из сил, действующих со стороны электрического и магнитного полей:

                                 .                                           (3.2)

 

Силу, определяемую формулой (3.2), называют обобщенной силой Лоренца. Учитывая действие двух полей, электрического и магнитного, говорят, что на заряженную частицу действует электромагнитное поле.

Рассмотрим движение заряженной частицы в одном только электрическом поле. При этом здесь и далее предполагается, что частица нерелятивистская, т.е. ее скорость существенно меньше скорости света.  На частицу действует только электрическая составляющая обобщенной силы Лоренца . Согласно второму закону Ньютона частица движется с ускорением:

 ,                                                   (3.3)

 

которое направленно вдоль вектора  в случае положительного заряда и против вектора  в случае отрицательного заряда.

Разберем важный случай движения заряженной частицы в однородном электрическом поле. В этом случае частица движется равноускоренно (). Траектория движения частицы зависит от направления ее начальной скорости. Если начальная скорость равна нулю или направлена вдоль вектора , движение частицы прямолинейное и равноускоренное. Если же начальная скорость частицы направлена под углом к вектору , то траекторией движения частицы будет парабола. Траектории движения заряженной частицы в однородном электрическом поле такие же, как и траектории свободно (без сопротивления воздуха) падающих тел в гравитационном поле Земли, которое вблизи поверхности Земли можно считать однородным.

Пример 3.1.  Определить конечную скорость частицы массой  и зарядом , пролетевшей в однородном электрическом поле  расстояние . Начальная скорость частицы равна нулю.

Решение.  Так как поле однородно, а начальная скорость частицы равна нулю, движение частицы будет прямолинейным равноускоренным. Запишем уравнения прямолинейного равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью:

 

.

 

Подставим величину ускорения из уравнения (3.3) и получим:

 

.

 

В однородном поле  (см. 1.21). Величину  называют ускоряющей разностью потенциалов. Таким образом, скорость, которую набирает частица, проходя ускоряющую разность потенциалов :

 

 .                                                         (3.4)

 

При движении в неоднородных электрических полях ускорение заряженных частиц переменное,  и траектории будут более сложными. Однако, задачу о нахождении скорости частицы, прошедшей ускоряющую разность потенциалов , можно решить исходя из закона сохранения энергии. Энергия движения заряженной частицы (кинетическая энергия) изменяется за счет работы электрического поля:

 

.

 

 Здесь использована формула (1.5) для работы электрического поля по перемещению заряда . Если начальная скорость частицы равна нулю () или мала по сравнению с конечной скоростью, получим: , откуда следует формула (3.4). Таким образом, эта формула остается справедливой и в случае движения заряженной частицы в неоднородном поле. В этом примере показаны два способа решения физических задач. Первый способ основан на непосредственном применении законов Ньютона. Если же действующие на тело силы переменны, бывает более целесообразным использование второго способа, основанного на законе сохранения энергии.

Теперь рассмотрим движение заряженных частиц в магнитных полях. Изменение кинетической энергии частицы в магнитном поле могло бы произойти только за счет работы силы Лоренца: . Но работа силы Лоренца всегда равна нулю, значит кинетическая энергия частицы, а вместе с тем и модуль ее скорости не изменяются. Заряженные частицы движутся в магнитных полях с постоянными по модулю скоростями. Если электрическое поле может быть ускоряющим по отношению к заряженной частице, то магнитное поля может быть только отклоняющим, т. е. изменять лишь направление ее движения.

     Рассмотрим варианты траекторий движения заряда в однородном поле.

     1. Вектор магнитной индукции параллелен или антипараллелен начальной скорости заряженной частицы. Тогда из формулы (3.1) следует . Следовательно, частица будет двигаться прямолинейно и равномерно вдоль линий магнитного поля.

     2.Вектор магнитной индукции перпендикулярен начальной скорости частицы (на рис. 3.2 вектор магнитной индукции направлен за плоскость чертежа). Второй закон Ньютона для частицы имеет вид:

 

     или .

 

Сила Лоренца постоянна по величине и направлена перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции. Значит, частица будет двигаться все время в одной плоскости. Кроме того, из второго закона Ньютона следует, что и ускорение частицы будет постоянно по величине и перпендикулярно скорости. Это возможно только тогда, когда траектория частицы – окружность, а ускорение частицы - центростремительное. Подставляя во второй закон Ньютона величину центростремительного ускорения  и величину силы Лоренца , находим радиус окружности:

 

 .                                            (3.5)

 

Отметим, что период вращения частицы не зависит от ее скорости:

 

                                   .

 

3. В общем случае вектор магнитной индукции может быть направлен под некоторым углом  к начальной скорости частицы (рис. 3.3). Прежде всего, отметим еще раз, что скорость частицы по модулю остается постоянной и равной величине начальной скорости . Скорость  можно разложить на две составляющие: параллельную вектору магнитной индукции  и перпендикулярную вектору магнитной индукции .

Ясно, что если бы частица влетела в магнитное поле, имея только составляющую , то она в точности как в случае 1 двигалась бы равномерно по направлению вектора индукции.       

Если бы частица влетела в магнитное поле, имея одну только составляющую скорости , то она оказалась бы в тех же условиях, что и в случае 2. И, следовательно, двигалась бы по окружности, радиус которой определяется опять-таки из второго закона Ньютона:

 

.

 

Таким образом, результирующее движение частицы представляет собой одновременно равномерное движение вдоль вектора магнитной индукции со скоростью   и равномерное вращение в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции со скоростью . Траектория такого движения представляет собой винтовую линию или спираль (см. рис. 3.3). Шаг спирали  – расстояние, пролетаемое частицей вдоль вектора индукции за время одного оборота:

.

 

     Откуда известны массы мельчайших заряженных частиц (электрона, протона, ионов)? Каким образом удается их «взвесить» (ведь, на весы их не положишь!)? Уравнение (3.5) показывает, что для определения массы заряженной частицы нужно знать радиус ее трека при движении в магнитном поле. Радиусы треков мельчайших заряженных частиц определяют с помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле, или с помощью более совершенной пузырьковой камеры. Принцип их работы прост. В камере Вильсона частица движется в пересыщенном водяном паре и является ядром конденсации пара. Микрокапельки, конденсирующиеся при пролете заряженной частицы, отмечают ее траекторию. В пузырьковой камере (изобретенной лишь полвека назад американским физиком Д. Глейзером) частица движется в перегретой жидкости, т.е. нагретой выше точки ее кипения. Это состояние неустойчиво и при пролете частицы происходит вскипание, вдоль ее следа образуется цепочка пузырьков.Подобную картину можно наблюдать, бросив в стакан с пивом крупинку поваренной соли: падая, она оставляет след из пузырьков газа. Пузырьковые камеры являются важнейшим инструментом для регистрации мельчайших заряженных частиц, являясь по сути, основными информативными приборами экспериментальной ядерной физики.

 

Сила Ампера

 

Если магнитное поле действует на одну движущуюся заряженную частицу, то, естественно, оно будет действовать и на поток заряженных частиц, т. е. на электрический ток. Сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током, называется силой Ампера.

Рассчитаем величину силы Ампера, действующую на элемент тока длины . Эту длину следует выбрать настолько малой, чтобы считать, что поле в области элемента тока однородно. На каждый электрон в проводнике будет действовать сила Лоренца:

,

 

где  - средняя скорость упорядоченного движения электронов,  - угол между скоростью и вектором магнитной индукции. Тогда сумма всех сил Лоренца, действующих на электроны элемента тока, или сила Ампера:

 

.

 

Число свободных электронов в элементе тока:

 

,

 

где  - концентрация свободных электронов в проводнике, 1/м³;  - объем элемента тока;  - площадь поперечного сечения проводника. Тогда:

 

.

 

Величина в скобках представляет собой произведение плотности тока  на площадь поперечного сечения провода, т. е. равна силе тока (см. уравнение (2.23)). Следовательно, для силы Ампера, действующей на элемент тока, получим:

      .                                            (3.6)

 

Угол  можно рассматривать как угол между проводником и вектором магнитной индукции.

Ясно, что направление силы Ампера, так же как и направление силы Лоренца, определяется правилом левой руки: четыре пальца левой руки нужно расположить вдоль тока так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, тогда оттянутый на 90⁰ большой палец укажет направление силы Лоренца. На рис. 3.4 показано применение этого правила (вектор магнитной индукции направлен на нас перпендикулярно  плоскости листа).

Выражение для силы Ампера можно переписать в векторном виде:

 

      .                                                   (3.7)

 

Вектор  направлен так же, как и сила тока.

     Уравнение (3.6) можно использовать для определения единицы измерения магнитного поля в СИ. Расположим проводник перпендикулярно вектору магнитной индукции. Тогда 1 Тесла – это индукция такого магнитного поля, в котором на проводник с током 1 А длиной 1 м действует сила 1 Н.

     Для того, чтобы найти результирующую силу, действующую на криволинейный участок проводника с током в магнитном поле, нужно разбить его на малые отрезки, которые можно считать прямолинейными, а поле в области каждого из отрезков однородным, затем определить силы Ампера, действующие на каждый такой отрезок и вычислить векторную сумму полученных сил, т.е. в пределе нужно взять интеграл вдоль всей длины провода :

.

 

В заключении приведем пример, в котором обсудим важное свойство силы Ампера, действующей на проводник с током произвольной формы в однородном магнитном поле.

Пример 3.2. Определить результирующую силу Ампера, действующую на проводник ADC с током , находящийся в однородном магнитном поле с вектором  индукции  (рис. 3.5).

Решение. Пусть , , . Тогда сила, действующая на проводник   AD:

.

 

Сила, действующая на проводник DC:

 

.

 

Результирующая сила Ампера, действующая на проводник ADC:

 

.

 

Таким образом, результирующая сила равна силе Ампера, которая бы действовала на прямолинейный проводник AC с тем же током , начало которого находится в начале первого отрезка с проводом, а конец – в конце второго отрезка с проводом. Фактически при вычислении силы Ампера ломаный проводник ADC можно заменить прямолинейным проводником АС.

Совершенно ясно, что если ломаный проводник будет содержать большее число звеньев, то результат не изменится. При вычислении силы Ампера его заменяют прямолинейным проводником, начало которого находится в начале первого звена, а конец – в конце последнего.

Наконец, если проводник, представляет собой произвольный криволинейный участок провода, то его можно разделить на маленькие (элементарные) кусочки и представить в виде ломаной линии. Отсюда следует важный вывод: сила Ампера, действующая на криволинейный участок проводника с током в однородном магнитном поле, не зависит от формы проводника, а зависит только от расстояния между началом и концом этого участка (т. е. фактически от координат начала и конца участка).

Результаты примера 3.2 позволяют сделать еще один вывод: с ила Ампера, действующая на замкнутый проводник с током в однородном магнитном поле, равна нулю.

Замкнутый проводник с током мы будем сокращенно называть рамкой с током или витком с током.