Рамка с током в магнитном поле

 

На каждый элемент рамки с током, помещенной в магнитное поле, будет действовать сила Ампера. Суммируя все действия, можно определить результирующую силу Ампера и результирующий момент сил Ампера. Если магнитное поле однородно, то согласно выводу, сделанному в предыдущем параграфе, результирующая сила равна нулю, и на рамку будет действовать один только вращательный момент.

Рассмотрим рамку с током  прямоугольной формы со сторонами  и , помещенную в однородное магнитное поле с индукцией  (рис. 3.6). Нормаль к плоскости рамки составляет с вектором магнитной индукции угол . На рис. 3.6 показаны силы Ампера, действующие на стороны рамки  и . Силы, действующие на стороны  и  не создают вращательного момента относительно оси ОО ₁. Предоставляем читателям самосто­я­тель­но определить направления дей­ствия этих сил (они будут растягивать рамку).

Моменты сил Ампера, действующих на стороны  и :

 

, .

 

Суммарный вращательный момент, действующий на рамку:

 

.

 

Площадь рамки , тогда:

 

                                               (3.8)

 

Введем характеристику рамки с током, называемую магнитным моментом рамки , направленным вдоль нормали  и равным

 

     .                                                      (3.9)

 

Направление нормали к плоскости рамки определяется направлением движения буравчика при вращении его по току.

Момент сил, действующих на рамку с током можно представить в виде:

 

                                                  (3.8,а)

 

Или в векторном виде:

                                                    (3.8,б)

Рамка будет находиться в равновесии, когда момент сил равен нулю. Это возможно, если   или . В первом случае момент рамки  параллелен вектору . Это устойчивое положение равновесия рамки (при небольших отклонениях рамка будет стремиться вернуться в положение равновесия). Во втором случае вектора  и  антипараллельны. Это неустойчивое положение равновесия (малейшее отклонение от этого положения приведет к развороту рамки на 180⁰).

Отметим, что полученные выражения (3.8,а) и (3.8,б) справедливы и для катушки с током (соленоида) во внешнем магнитном поле. В этом случае  - магнитный момент катушки, где  - число витков катушки.

Поведение рамки с током в магнитном поле аналогично поведению магнитной стрелки компаса. Магнитное поле ориентирует северный полюс стрелки вдоль направления вектора магнитной индукции . Это устойчивое положение равновесия стрелки. В случае рамки с током по направлению  ориентируется магнитный момент  (или нормаль к плоскости рамки ).

Если проводить параллели с электричеством, то свойства рамки с током во многом аналогичны свойствам электрического диполя (см. п. 1.8 и рис. 1.18 и 1.19). Напомним, что диполь – это система из двух точечных зарядов  и , находящихся на расстоянии  друг от друга. Дипольным моментом называется векторная величина . Вектор , а вместе с ним и , направлены от отрицательного заряда к положительному. Можно легко доказать, что на электрический диполь, находящийся в однородном электрическом поле с напряженностью , действует вращательный момент:

 

                                        .

 

В устойчивом положении равновесия дипольный момент  параллелен вектору , а в неустойчивом положении равновесия вектора  и  антипараллельны.

Аналогия между дипольным и магнитным моментом играет важную роль при описании диэлектрических и магнитных свойств вещества. При помещении диэлектрика в электрическое поле (см. п. 1.8) дипольные моменты молекул ориентируются в направлении поля. Этот процесс называется поляризацией диэлектрика и объясняет уменьшение напряженности электрического поля в диэлектрике по сравнению с полем в вакууме. Похожим образом происходит процесс намагничивания парамагнетиков, приводящий к усилению магнитного поля в веществе. Нужно немного воображения для того, чтобы молекулы или атомы рассматривать как маленькие рамки с токами. Токи создаются движением электронов вокруг ядер. Таким образом, молекулы и атомы могут обладать собственными магнитными моментами, которые ориентируются по внешнему магнитному полю. Этот процесс и есть намагничивание. Мы еще будем рассматривать его в п.п. 3.16 - 3.18.

В неоднородном магнитном поле на виток с током, помимо момента, будет действовать еще и результирующая сила. Приведем выражение для этой силы без вывода:

                                                           (3.9)

 

Предполагается, что ось  направлена вдоль вектора .

 

 

Эффект Холла

Поместим проводник с током в магнитное поле , перпендикулярное направлению тока. На движущиеся упорядоченно со средней скоростью  свободные электроны внутри проводника действуют силы Лоренца. Эти силы Лоренца, как нам уже известно, в совокупности дают силу Ампера. Внутри проводника, однако, возникает еще одно любопытное явление.

Поскольку на электроны действует сила Лоренца (рис. 3.7, а), они начинают смещаться к верхней границе проводника. В результате на верхней границе проводника накапливается отрицательный электрический заряд. Соответственно на нижней границе будет накапливаться положительный электрический заряд, поскольку проводник в целом электронейтрален. Процесс накопления зарядов быстро прекратиться, так что очень малая часть всех свободных электронов успеет скопиться на границе. Действительно, накопление зарядов на границе проводника приводит к появлению внутри проводника поперечного электрического поля  (рис. 3.7, б). Со стороны этого поля на электроны будет действовать сила , противоположная по направлению силе Лоренца. Когда две силы станут равными по величине, движение электронов к границе проводника прекратится. Электроны будут двигаться вдоль проводника.

Итак: при помещении проводника с током в магнитное поле внутри проводника возникает электрическое поле, направленное перпендикулярно направлению тока и магнитному полю. Это явление и называется эффектом Холла. Отметим, что явление накопление электрических зарядов на границе проводника с током в магнитном поле, в сущности, объясняет происхождение или механизм действия силы Ампера на проводник с током. В п. 3.3 сила Ампера рассматривалась как сумма всех сил Лоренца, действующих на отдельные свободные электроны проводника. Но как эта сила передается самому проводнику, его кристаллической решетке? Ведь электроны свободные и не взаимодействуют с кристаллической решеткой, а значит, не могут оказать на нее никакого воздействия! По сути «передатчиком» силы Ампера и служит ничтожная доля электронов, скапливающихся на границе проводника.

Вычислим разность потенциалов, возникающую между боковыми границами проводника  - холловскую разность потенциалов. Процесс накопления зарядов прекращается, когда электрическая сила уравновесит силу Лоренца:

.

 

Тогда получаем: , где  - толщина проводника.

Среднюю скорость упорядоченного движения электронов (дрейфовую скорость) можно выразить через силу тока , концентрацию свободных электронов  и площадь поперечного сечения проводника  (см. уравнение (2.23)):

.

 

Тогда холловская разность потенциалов:

 

       .                                       (3.10)

 

Анализируя эту формулу, можно понять основные возможности применения эффекта Холла.

Эффект Холла можно использовать для измерения индукции магнитного поля. В этом случае изготавливают проводник небольшого размера, который называется датчиком Холла. Измеряют зависимость между  и произведением  для какого-то известного (эталонного) магнитного поля, определяя тем самым коэффициент пропорциональности  между этими величинами для данного датчика. Затем, помещая датчик Холла в различные точки исследуемого поля, измеряют ток, холловскую разность потенциалов , и по этим данным вычисляют индукцию магнитного поля .

Важнейшую роль эффект Холла играет при исследовании физических свойств проводящих материалов. Измеряя величины ,  и , можно вычислить такую важную характеристику, как концентрация свободных зарядов . Оказалось, что у металлических проводников примерно на один атом приходится один электрон проводимости. У полупроводников концентрация свободных зарядов значительно меньше – примерно на миллион атомов приходится один свободный электрон. Кроме того, оказалось, что заряд свободных носителей некоторых полупроводников положительный! Такое впечатление, что в таких полупроводниках ток обусловлен движением «положительно заряженных электронов». Эффект Холла в таких полупроводниках называется аномальным. На самом деле, оказалось, что аномальный эффект Холла соответствует случаю дырочной проводимости.

Каким образом удается определить знак свободных носителей? Если бы все носители тока были бы положительно заряженными (см. рис. 3.7, в), то при том же направлении силы тока  на верхней грани проводника скапливался бы не отрицательный, а положительный заряд, и величина  оказывается противоположного знака. Это и есть аномальный эффект Холла. Отметим, что многие другие проявления электрического тока (тепловое, магнитное) не позволяют определить знак заряда свободных носителей, поскольку не зависят от него, а определяются только величиной тока.