Возведение оператора в степень

Оператор называется n -ой степенью оператора , если результаты действия на произвольную функцию Ψ оператора и n -кратного действия оператора одинаковы:

. (5.3)

Алгебра операторов некоммутативна. Если в обычной алгебре a ۰ b=b ۰ a, то для операторов в общем случае , т.е. они не коммутируют. Именно поэтому при перемножении операторов важно следить за их расстановкой в произведении. Для двух операторов и принято указывать коммутатор. Так называется оператор

. (5.4)

Если коммутатор равен нулю, т.е. , говорят, что операторы коммутируют.

Коммутатор можно использовать, если необходимо переставить операторы. Например, из (5.4)

В квантовой механике используются только операторы линейные и самосопряженные (иначе – эрмитовые).

Оператор называется линейным, если он при действии на суперпозицию функций действует на каждое слагаемое в отдельности:

, (5.5)

( - произвольные коэффициенты).

Свойство самосопряженности, или эрмитовости, оператора интегральное. Оператор называется самосопряженным (эрмитовым), если для него удовлетворяется соотношение:

. (5.6)

Здесь функции и - произвольные, но должны удовлетворять стандартным условиям; интегрирование выполняется по всему пространству.

В алгебре операторов одной из основных является задача нахождения собственных функций и собственных значений операторов. Для ее решения используется уравнение:

. (5.7)

Здесь неизвестными являются как константа F, называемая собственным значением оператора , так и функция - собственная функция оператора . Собственная функция должна удовлетворять стандартным условиям, т.е. быть конечной, непрерывной и однозначной во всей области определения переменной ξ. При решении уравнения (5.7) эти условия играют роль граничных.

Различных собственных значений F может быть много. Вся их совокупность образует спектр собственных значений. Спектр может быть дискретным – F = F₁, F₂, … F_n, … (n – квантовое число, нумерующее собственные значения). Если собственное значение F может принимать любые значения, то спектр называется непрерывным. Каждому собственному значению соответствует своя собственная функция. Так, если спектр дискретный, то уравнение (5.7) записывают в виде

, n = 1, 2, …, (5.8)

и каждому собственному значению F_n = F₁, F₂, … соответствует собственная функция φ_n (ξ)

(n = 1, 2, …). Если спектр непрерывный, то уравнение (5.7 ) записывают в виде

, (5.9)

или иначе – собственное значение F вносят в виде аргумента в собственную функцию, т.е.

. (5.9^*)

И здесь каждому собственному значению F соответствует своя собственная функция φ (F,ξ).

Возможен случай, когда одному и тому же собственному значению F соответствует не одна, а несколько собственных функций:

, α = 1, 2, …, f_n. (5.10)

В этом случае говорят, что спектр вырожденный, а число f_n – это кратность вырождения, т.е. число различных собственных функций φ_nα (ξ), соответствующих собственному значению F_n. В случае вырождения собственная функция оператора несет два квантовых числа –

n = 1, 2, … и α = 1, 2, …, f_n.

Лекция 6

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Свойства собственных функций и собственных значений операторов

О собственных значениях

Собственные значения эрмитовых операторов действительны.

Покажем это. Возьмем уравнение (5.7) на собственные функции и собственные значения оператора и комплексно сопряженное ему:

;

Умножим слева первое уравнение на φ ^*(ξ),а второе – на φ (ξ), вычтем из первого уравнения второе и результат проинтегрируем по всему пространству:

Здесь учтено, что для нормированных собственных функций (их также нормируют, как и волновую функцию) (см. (4.4)). Для эрмитовых, или самосопряженных, операторов имеет место соотношение (5.6). Учитывая произвольность в нем функций Ψ₁ (ξ) и Ψ₂ (ξ), полагая в нем Ψ₁ (ξ)= Ψ₂ (ξ)= φ (ξ), получим: