А). Случай дискретного спектра

1. Собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям эрмитового оператора, ортогональны.

Докажем. Пусть собственная функция φ_n (ξ) принадлежит собственному значению F_n, а собственная функция φ_m (ξ) → F_m, причем F_n   F_m. Это означает, что удовлетворяются уравнения:

                                         ,               (a)

                                        .               (b)
Умножим справа уравнение (a) на φ_m^* (ξ), уравнение (b) заменим на комплексно ему сопряженное и умножим его справа на φ_n (ξ). Получим

;

.

Во втором уравнении учтено, что F_m = F_m ^*, как было доказано выше. Проинтегрируем эти равенства по всему пространству и вычтем одно из другого.

 .

Из условия эрмитовости оператора  (см. (5.7)) следует: .

Тогда .

Так как по условию F_n   F_m, то

                  ,               (c)

что и требовалось доказать. Обычно собственные функции оператора нормируют. Поэтому

                     .    (d)

Объединяя условия (c) и (d) в одно, получим условие ортонормировки собственных функций:

                                     .           (6.1)

Здесь  - символ Кронекера:

                                            .                   (6.2)

Аналогично условие ортонормировки можно записать и для собственных функций оператора с вырожденным спектром (см. (5.10) ):

.

 

2. Система собственных функций линейного эрмитового оператора полная.

Это свойство означает, что произвольную функцию Ψ (ξ), удовлетворяющую стандартным условиям, можно разложить в ряд по собственным функциям линейного эрмитового оператора φ_n (ξ):

              .               (6.3)

Коэффициенты разложения a_n можно найти, умножив соотношение (6.3) на φ_m^* (ξ) и проинтегрировав по ξ:

.

Здесь было использовано условие ортонормировки собственных функций (6.1) и определение символа Кронекера (6.2). Таким образом,

            .            (6.4)

Если функция Ψ (ξ) нормирована, то, подставив

 в условие ее нормировки разложение (6.3), можно для коэффициентов a_n получить критерий полноты разложения (6.3):

                        .                  (6.5)                                     

3. Условие полноты системы собственных функций

        .   (6.6)

Здесь ξ и ξ’ – две пространственных точки.

  δ (ξ) – дельта-функция Дирака. Поскольку она часто используется в квантовой механике, отметим некоторые ее свойства.

1.  ;

 - фиксированная координата в пространстве.

2.  .

Точки a и b задают интервал интегрирования [ a, b ].

3. .

 - произвольная функция.

4.  .

5.  .

6. ;

7. .

8.  ; .