2020-04-12
71
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p ( следовательно, вероятность непоявления 
). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появлений события А в этих испытаниях.
Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины Х. Для её решения требуется определить возможные значения Х и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях либо появится 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: 
. Остаётся найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
, (12)
где k =0, 1, 2, …, n.
Данная формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Распределение, определяемое формулой Бернулли, называют биноминальным потому что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона.
|
|
|
. (13)
Таким образом, первый член разложения 
определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член 
определяет вероятность наступления события 
раз; …; последний член 
определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Напишем биноминальный закон в виде таблицы:
Таблица 2 – Биноминальный закон
| X | n | n-1 | … | k | … | 0 |
| Р |
| 
| … | 
| … |
|
Математическое ожидание для биноминального распределения имеет вид:
, (14)
Пример 8:
Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».
Решение:
Вероятность появления герба в каждом бросании монеты 
, следовательно, вероятность непоявления герба 
.
При бросании монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: 
.
Найдём вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
Напишем искомый закон распределения:
Х 2 1 0
Р 0.25 0.5 0.25.
