Понятие – один из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы формирование понятийного аппарата темы.
Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.
Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия. Раскрывается с помощью определения.
Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие. Раскрывается с помощью классификации. Например: понятие треугольник соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем понятия). Характеристическое свойство – наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия).
Характеристические (существенные свойства) – это такие свойства, каждое из которых необходимо, а не вместо достаточного для характеристики объекта принадлежащих понятию.
Понятие: родовое и видовое. Например: Ромб – это параллелограмм, две смежные стороны, которых равны. Родовое понятие – понятие параллелограмма, видовое отличие – две смежные стороны равны.
|
|
В отношении объемов различают виды понятий: равнозначимые (совпадают), пересекающиеся, находящие (частично-пересекающиеся) в отношении включения.
Определение понятия – это предложение, в котором раскрываются содержание понятия, т.е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов принадлежащих определяемому понятию.
Определения:
1. явные – содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющие в них выражены четко и однозначно. Например: «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».
2. неявные – не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст. Н-р: «Фигура, образованная двумя прямыми, выходящими из одной точки, называются углом».
3. дескрипции – определения мат.объектов путем указания их свойств. Например: «То число, которое будучи умножено на длину диаметра дает длину окружности – дескрипция числа пи».
4. номинальные – с их помощью вводят новый термин символ выражение, как сокращенное для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значения уже введенного термина символа.
5. реальные – с помошью реальных определений фиксируются характеристические свойства самих определяемых объектов (пятиугольник, есть плоская геометрическая фигура, ограничивающаяся 5-ю сторонами). Одно и то же определение можно представить как номинальное и как реальное (пятиугольником, называется плоская геометрическая фигура, ограниченная 5-ю сторонами).
|
|
6. контекстуальные – (часто применяются в начальных классах) – такие определения нового неизвестного термина, понятия, которые выясняются из смысла прочитанного, сводятся к указанию содержащих его контекста.
7. индуктивные – определения, которые позволяют из сходных объектов (теории) путем применения к ним конкретных операций получить новые объекты. Н-р: определение натурального числа.
8. аксиоматические – определения исходных понятий, которые даются посредством исходных понятий некоторой теории через её аксиому. Например: точка, плоскость и расстояние.
9. определение через род и видовые отличия – определения, которые можно рассматривать как частный вид номинальных определений, которые выделяются из предметов ву некоторой области, которые при этом явно упоминаются в определении (род) путем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие).
10. генетические - определения, в которых описываются и указываются способ его происхождения, образования, возникновения и построения. Например: «Шар – это геометрическое тело, образованное вращение полуокружности вокруг диаметра: «Сферой называется поверхность, полученная, вращением полуокружности, вокруг своего диаметра»».
11. определение через абстракцию – определения, связанные с выделением объекта через установление между ними отношений равенства, равнозначности тождества. Например: «Натуральное число n – это характеристика эквивалентных конечных множеств, состоящих из n элементов».
12. остенсивные – определения значений слов путей непосредственного показа, демонстрации предметов.
13. вербальные понятия – это понятия в которых значение неизвестных выражение определяется через выражение с известным значением.
Условие корректности определений: 1.Отсутствие прочного круга и связанного с ним возможности исключения нововведенных терминов. Пример: Решение уравнений – это то число, которое является его решением (такого не должно быть).
2. отсутствие омонимии: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого.
Формирование понятия: Формирование понятия – сложный психологический процесс, который осуществляется и протекает по схеме: ощущение -> восприятие-> представление -> понятие.
Этапы формирования понятия:
1. Мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, возбуждается интерес к изучению понятия)
2. Выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия).
3.Формулировка определений понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию).
Методы формирования понятия:
1.Конкретно-индуктивный (учитель сам вводит понятие) – в младших классах.
2.Абстрактно- дедуктивный (частично –дедуктивный метод).
Классификация понятий – выявление объема понятий, т.е. разделение множества объектов, составляющих объём родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов.
Условия классификации понятий: 1. Классификация проводится по определённому признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации.
2. Понятия, получающиеся в результате классификации – взаимно независимые.
3. Сумма объемов понятий, получающихся при классификации, равняется объему исходного понятия.
Пример: Четырехугольник(трапеция и параллелограмм(прямоугольник(квадрат) и ромб(квадрат))).