Методика изучения теорем и их доказательств (на примере учебников геометрии)

Теорема – это мат - ое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения)

Вида формулирования теоремы

· Условная

· Категорическая

Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другой. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указан при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы).

Пример:

Теорема: В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

            Если четырехугольник – параллелограмм, то…

Условие Р четырехугольник – параллелограмм, диагонали его пересекаются

Заключение G точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам.

Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т.е., приняв, что Р истинно, соответствии с правилами вывода показать, что G истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание (теорема) истинно целом.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

Тезис (Главная цель доказательства – установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса суждение.

Аргументы (основание) доказательства – положения на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы.

Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

При изучении теорем школьного курса математики учитель придерживается следующей последовательности:

1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации)

2. Обращение к опыту учащихся

3. Высказывание предположения

4. Поиск возможных путей решения

5. Доказательство найденного факта

6. Проведение доказательства в максимальной форме

7. Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.

Процесс изучения школьниками теоремы включает этапы:

1. Мотивация изучения теоремы

2. Ознакомление с фактом, отраженным в теореме

3. Формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы

4. Усвоение содержания теоремы

5. Запоминание формулировки теоремы

6.Ознакомление со способом доказательства

7.Доказательство теоремы

8.Применение теоремы

9.Установление связей теоремы с ранее изученными теоремами

ИЛИ ДРУГОЙ

Этапы изучение теоремы

1. Раскрытие ее содержания (формулировка теоремы)

1. Работа над структурой
2. Построение чертежа, краткая запись содержания теоремы
3. Поиск доказательства, доказательство и ее запись
4. Закрепление теоремы
5. Применение теоремы