Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число

Во многих разделах математики, механики, физики, технических наук

различают величины скалярные и векторные. Величина, для определения которой достаточно задать только ее численное значение, называется скалярной. Примерами скалярных величин служат длина, площадь, масса, температура, сопротивление и др. Объекты, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением в пространстве, называ-ются векторными. Векторами являются, к примеру, скорость, сила, напряженность электрического или магнитного поля и др.

Векторную величину можно изобразить направленным отрезком.

Определение. Вектором называется отрезок, концы которого упорядочены. Первый из его концов называется началом, второй – концом вектора.

Обозначается a, MN, где М – начало вектора, N – его конец (рис.3).

Рис. 3.

Если вектор обозначен одной буквой, то в печати обычно стрелка над ней

не ставится, а сама буква выделяется жирным шрифтом: .

Введем ряд понятий.

1) Вектор называется противоположным вектору .

2) Нулевой вектор – вектор, у которого начало и конец совпадают.

Обозначается  или 0. Нулевой вектор не имеет направления.

3) Модуль (длина) вектора – это расстояние между его началом и концом.

Обозначается |   |, | | Модуль нулевого вектора равен нулю |   |  0.

4) Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице.

Определение. Коллинеарные векторы – векторы,

лежащие на одной прямой или на параллельных прямых

(рис.4). Обозначаются a b. Нулевой вектор считается

коллинеарным любому вектору.

Рис. 4.

Определение. Компланарные векторы – векторы, лежащие в одной

плоскости или в параллельных плоскостях.

Заметим, что любые два вектора всегда компланарны.

Определение. Векторы а и b называются равными,

если они: 1) коллинеарны, 2) их длины равны, 3) они имеют одинаковое направление

(рис.5).

Обозначение: a = b.

Если точка приложения вектора может быть любой, то есть его можно

переносить, то вектор называется свободным.

Вектор называется скользящим, если его можно перемещать вдоль прямой, проходящей через начало и конец вектора.

Векторы, для которых точка приложения имеет существенное значение, называются связанными (например, радиус-вектор точки, который будет определен ниже, или сила, действующая на тело).