Формула расстояния между двумя точками

1 2 3 4 5

Если вектор а задан двумя точками: началом в точке

M (xM, yM, zM) и концом в точке N (xN, yN, zN), т.е. a  MN (рис. 12), то его

декартовы координаты ax, ay, az находятся по формулам:

ax = xN – x M

ay = yN – yM,

az = zN – zM .

Модуль вектора а вычисляется по формуле:

| a | =

Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости, пространства) и их координатами – действительными числами при помощи системы координат.

Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок.

Координатами точки М в системе координат Оху называются координаты радиус-вектора .

Расстояние между двумя точками и на плоскости вычисляется по формуле

. (1)

Координаты точки М, делящей в заданном отношении λ отрезок АВ, где , , , находятся по формулам

, . (2)

Если λ = 1, т.е. точка М делит отрезок АВ пополам, получаются формулы координат середины отрезка

, . (3)

Площадь треугольника с вершинами , , вычисляется по формуле

, где . (4)

Пример 1. Отрезок AB четырьмя точками разделён на пять равных частей. Определить координату ближайшей к A точки деления, если A(-3), B(7).

Решение.

Пусть - искомая точка; тогда .

Следовательно, по формуле находим , т.е. С(-1).

Пример 2. Известны точки А(1), В(5) – концы отрезка АВ; вне этого отрезка расположена точка С, причем ее расстояние от точки А в три раза больше расстояния от точки В. Определить координату точки С.

Решение.

Отметим, что . Таким образом,

, т.е. C(7).

Пример 3. Определить расстояние между точками и .

Решение.

По формуле (1) получим

Пример 4. Даны вершины треугольника АВС: , , . Определить координаты точки пересечения медиан треугольника.

Решение.

Найдем координаты точки D – середины отрезка АВ; имеем , . Точка М, в которой пересекаются медианы, делит отрезок СD в отношении 2:1, считая от вершины С. Следовательно, координаты точки М можно определить по формулам

, ,

т.е.

, .

В результате получаем

, .

Пример 5. Определить площадь треугольника с вершинами: , , .

Решение.

Используя формулу (4), получим

(кв.ед.).

Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-2;-5) параллельно прямой .

Решение.

Разрешив последнее уравнение относительно y, получим . Следовательно, в силу условия параллельности угловой коэффициент искомой прямой равен -3/4. Воспользовавшись уравнением , получаем , т.е. .

Пример 7. Даны вершины треугольника: А(2; 2), В(-2; -8) и С (-6;-2). Составить уравнение медиан треугольника.

Решение.

Находим координаты середин сторон ВС, АС и АВ:

, ,

Уравнения медиан находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение медианы АА₁:

, или , т.е. .

Находим уравнение медианы ВВ₁: поскольку точки В(-2; -8) и В₁(-2;0) имеют одинаковые абсциссы, медиана ВВ₁ параллельна оси ординат. Ее уравнение .

Уравнение медианы СС₁: , или .

Пример 8. Даны вершины треугольника: А(0; 1), В(6; 5) и С(12; -1). Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.

Решение.

По формуле найдем угловой коэффициент стороны АВ; имеем . В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент высоты, проведенной их вершины С, равен -3/2. уравнение этой высоты имеет вид , или .