Сроки выполнения работы: 109 – РАС 30.03 2020 г

                                                110 – АТПП 30.03.2020 г.

                                                120 – ГХ    01.04.2020г.

                                                139 – ПО        30.03.2020 г.

Вариант 1   1. Точка движется прямолинейно по закону   Найти скорость и ускорение   точки в момент времени . 2. Точка движется прямолинейно по закону  Определить момент                   времени, когда ускорение тела будет равным 0. 3. Найти производную второго порядка а) б) в)	Вариант 2   1. Точка движется прямолинейно по закону Найти скорость и ускорение точки в момент времени . 2. Два тела движутся прямолинейно по законам и  Определить момент времени, когда скорости этих тел будут равны. 3. Найти производную второго порядка        а)        б) в)
Вариант 3   1. Точка движется прямолинейно по закону   Найти скорость и ускорение   точки в момент времени . 2. Точка движется прямолинейно по закону  Определить моменты                   времени, когда скорость тела будет равна 0. 3. Найти производную второго порядка а) б) в)	Вариант 4   1. Точка движется прямолинейно по закону   Найти скорость и ускорение   точки в момент времени . 2. Два тела движутся прямолинейно по законам  и Определить момент времени, когда скорости этих тел будут равны. 3. Найти производную второго порядка а) б) в)
Вариант 5   1. Точка движется прямолинейно по закону   Найти скорость и ускорение   точки в момент времени . 2. Закон движения частицы определяется уравнением Каково ускорение частицы в момент, когда её скорость равна . 3. Найти производную второго порядка а) б) в)	Вариант 6   1. Точка движется прямолинейно по закону   Найти скорость и ускорение   точки в момент времени . 2.  Для машины тормозной путь определяется  формулой В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки. 3. Найти производную второго порядка а) б) в)

 

Лекция

Геометрический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции  в точке равен производной функции в этой точке:

Заметим, что угол α - это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ.

Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты k и b в уравнении

Но ведь k мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке

 

Рис. 1

 

Теперь остается найти b. Это проще простого: b значение при Графически  это координата пересечения прямой с осью ординат. Рассмотрим рис.1, проведём ВС параллельно оси Ох, очевидно, что треугольник АВС прямоугольный, ,           

, выразим b:

Соберём полученные данные:

Уравнение касательной к графику функции в точке x₀ имеет вид:

!

В этом уравнении:

- абсцисса точки касания,

- значение функции y=f(x) в точке касания,

- значение производной функции y=f(x) в точке касания.

Пример:

Найти уравнение касательной к графику функции в точке .

Алгоритм решения:!

1.Вычислим

2. Найдём

 

4. Подставим, полученные данные в уравнение касательной:

 уравнение касательной.

Практика (Самостоятельно):

 Найти уравнение касательной

1.

2. .

3. .

4.

 

 

Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной.

!

Пример: Найти уравнения касательной и нормали к графику функции , в точке

Алгоритм решения:!

1.

2. f′(x)= .(производная)

3. .

4. Подставим, полученные данные в уравнение касательной, и нормали

Касательная:

Нормаль:

Примечание:

1. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны, т.е. если прямые и  параллельны, то  .

2. Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых взаимно обратны и противоположны по знаку, т.е. если прямые и  перпендикулярны, то  .

 

 

Составить самостоятельно уравнения касательной и нормали к графику функции:

1.  в точке

2.  в точке

3.  в точке

4.  в точке