double arrow

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова.

 

2.3.1. Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала

 

Найдем связь между спектром дискретизированного сигнала    и спектром исходного сигнала  до его дискретизации. Для этого учтем выражение для обратного преобразования Фурье:

.

Соответственно, можно записать следующую связь со спектром исходного непрерывного сигнала :

                              .

Подставим это соотношение в выражение для спектра дискретизированного сигнала:

.

Учтем, что

.

 

Воспользуемся фильтрующим свойством дельта-функции:

.

 

Результирующая связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного непрерывного сигнала описывается выражением:

.                                    (2.13)

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой периодическую последовательность на оси частот спектров исходного непрерывного сигнала с интервалом частоты дискретизации .

 

2.2.3.2. Восстановление исходного непрерывного сигнала. Теорема Котельникова.

Если верхняя граничная частота исходного непрерывного сигнала  ограничена условием

,                                                     (2.14)

то отдельные копии спектра  не накладываются друг на друга в спектре дискретизированного сигнала.

Рисунок 2.2 – восстановление исходного непрерывного сигнала

 

 

В этом случае () исходный непрерывный сигнал   может быть полностью восстановлен с помощью идеального ФНЧ, имеющего прямоугольную ЧХ:

Импульсная характеристика такого фильтра является обратным преобразованием Фурье от частотной характеристики:

.

В соответствии с интегралом Дюамеля можно восстановить исходный ограниченный по спектру сигнал следующим образом:

. (2.15)

Точная формулировка теоремы Котельникова имеет следующий вид:

Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше , может быть полностью восстановлен, если известны дискретные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени .

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: