2020-04-12
133
Дискретное преобразование Фурье
Спектральная плотность дискретизированного сигнала 
является непрерывной периодической функцией частоты. Однако для цифровой обработки требуется дискретизация сигнала не только во временной области, но и в частотной.
Для этого сплошной спектр должен быть представлен совокупностью своих дискретных значений:
.
Такой (дискретный) спектр может в соответствии с теорией рядов Фурье быть получен в результате периодического повторения исходной последовательности 
с периодом 
.
В этом случае интервал между соседними спектральными составляющими равен:
. (3.1)
Рисунок 3.1 – дискретизация сигнала по времени и по спектру
После подстановки 
получаем следующее выражение для спектральной плотности (с учетом перехода от бесконечной последовательности к конечной длительностью 
):
, (3.2)
(для четного N).
Выражение (3.2) называют дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), которое обычно записывается через целочисленные аргументы 
и 
:
|
|
|
, (3.3)
.
С учетом периодичности ДПФ его можно записывать следующим образом:
, (3.4)
.
Можно показать, что обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) записывается в виде:
, (3.5)
.
Таким образом, ДПФ представляет собой:
- дискретные отсчеты непрерывного спектра дискретизированного сигнала 
;
- спектр периодической последовательности сигналов 
, повторяемых с периодом NТ.
