Преобразование Фурье дискретизированного сигнала

 

2.2.1. Ряд Фурье для непрерывных периодических сигналов

 

Непрерывная периодическая функция времени  с периодом  может быть представлена рядом Фурье:

,                                              (2.5)

где  - период дискретизации по частоте ;

 - нормированная частота;

 - коэффициенты Фурье в виде комплексных чисел.

Коэффициенты Фурье  вычисляются по формуле:

.                                            (2.6)

В свою очередь, можно ввести следующую непрерывную периодическую функцию частоты  с периодом , которая может быть представлена следующим рядом Фурье:

,                                               (2.7)

где  - период дискретизации по времени ;

 - нормированное время, соответствующее абсолютному времени ;

 - коэффициенты Фурье в виде комплексных чисел.

 

Коэффициенты Фурье  вычисляются по формуле:

 

.                                           (2.8)

 

2.2.2. Преобразование Фурье для непрерывных непериодических сигналов

В результате предельного перехода при  можно перейти от ряда Фурье (2.5)

 

к интегралу Фурье:

 

 ,               (2.9)

где  - спектральная плотность функции .              (2.10)                             

 

2.2.3. Преобразование Фурье дискретизированного сигнала

 

Преобразование Фурье дискретизированного сигнала запишется в виде:

 

.

 

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта – функции, получим:

.                                   (2.11)

Спектр дискретизированного сигнала  характеризуется двумя свойствами:

1) является непрерывной функцией частоты;

2) является периодической функцией частоты.

 

Соотношение (2.11) является одновременно:

- прямым преобразованием Фурье дискретизированного сигнала ;

- рядом Фурье непрерывной функции .                         

Поэтому коэффициенты  ряда Фурье могут быть вычислены по известной формуле для коэффициентов ряда Фурье (2.6):

 

.                                         (2.12)

 

Соотношение (2.12) является одновременно:

- обратным преобразованием Фурье для дискретного сигнала ;

- коэффициентом ряда Фурье непрерывной функции .

 

Таким образом, преобразованием Фурье дискретизированного сигнала  называется пара взаимно однозначных преобразований:

прямое преобразование             ;

и обратное преобразование     .