2020-04-07
107
Экзотическая комбинация, выражающая уверенность инвестора в том, что в определенный период времени цена на подлежащий актив начнет группироваться вокруг некоторого среднего значения. Эта комбинация проявляет свою эффективность в спокойные времена, когда волатильность подлежащего актива низка.
Чтобы построить комбинацию «бабочка», инвестор одновременно делает следующее:
приобретает опцион call сострайком xc1 («левое крыло»);
выписывает (уступает) два call опциона со страйком xc2 > xc1 («тело»);
приобретает опцион call сострайком xc3 > xc2 > xc1 («правое крыло»).
При этом выполняется xc2 = (xc1 + xc3)/2, т.е. «тело» находится строго посередине между двумя «крыльями».
Если инвестор угадал, и финальная цена подлежащего актива оказалась в районе второго страйка, то доход от инвестирования в «бабочку» будет максимальным и равным межстрайковой разнице за вычетом затрат на построение комбинации. Это подтверждается соотношением для дохода [7.2]
, (7.52)
|
|
|
где zS = zc1 + zc3 - 2zc2, а zc1 > zc2 > zc3 – покупные цены опционов.
Обозначим две вероятности: K1- того, что все три опциона не в деньгах, K2- того, что они в деньгах. Профиль функции, обратной к (52), подсказывает нам, по аналогии со всем предыдущим изложением, следующий вид плотности распределения дохода по комбинации:
(7.53)
Заметим, что все приведенные в данном разделе опционные комбинации имеют ключевое слово “buy”. Это означает, что приобретая эти комбинации, инвестор занимает длинную позицию, а их продавец является райтером, и для него эти комбинации описываются ключевым словом “sell”. Мы намеренно избегаем анализа этих «коротких» комбинаций, чтобы сохранить пропорции, намеченные данной монографией, и говорить исключительно об инвестиционных рисках Вообще говоря, раскрытие темы эффективности и риска опционных комбинаций с точки зрения их райтера требует написания отдельной книги.
Корреляция подлежащего актива и опциона put
Мы подошли к оценке корреляции опциона put и подлежащего актива. По общему правилу [7.], она определяется так:
(7.54)
Запишем (7.54) в развернутом виде, имея ввиду (7.31) и (7.32):
. (7.55)
Чтобы раскрыть (7.55), построим гипотетическую биномиальную схему испытаний, двумя возможными исходами которой будут:
попадание опциона мимо денег с вероятностью K = Pr{ST>xp};
попадание опциона в деньги с вероятностью (1-К).
Пусть pi – значение доходности подлежащего актива, полученное в ходе i–го испытания в серии из N испытаний. При большом числе N число испытаний с первым исходом составляет M» KN, а со вторым – N-M» (1-K)N.
|
|
|
Тогда оценка (7.55) по биномиальной схеме с N испытаниями составляет:
(7.56)
Заметим, что M{(rT- 
)/sr }= 0 как матожидание нормированной случайной величины. Также M{(rT- )2 }= sr2 – по определению, дисперсия случайной величины rT. С переводе на язык оценок из (7.55) это означает
(7.57)
Производя предельный переход при N ® ¥ в (7.56) с учетом (7.57), имеем
(7.58)
Видим, что, поскольку g<0, то корреляция опциона put и подлежащего актива является отрицательной. Это означает, что с введением опциона put в дополнение к подлежащему активу снижается доходность этой сборки одновременно со снижением ее риска.
Замечание. Идея применения биномиальной схемы испытаний принадлежит к.ф.-м.н. А.В.Сомовой.
Рассмотрим два важных предельных частных случая.
1. Когда опцион put в сборке со стопроцентной вероятностью попадает в деньги. Тогда К=0, r = -1, а также достигается предел (7.33). Обозначим среднеожидаемую доходность сборки за 
, а СКО сборки за sА. Тогда по общим правилам портфельного инвестирования выполняется:
(7.59)
(7.60)
где
(7.61)
веса компонент в портфеле.
Применение (7.59)-(7.61) в нашем случае дает:
(7.62)
предельно низкая доходность сборки, известная инвестору заранее,
(7.63)
то есть при попадании опциона в деньги доходность сборки перестает быть случайной величиной, а становится фиксированной и заведомо известной.
2. Когда опцион put в сборке со стопроцентной вероятностью не попадает в деньги. Тогда К=1, r = 0, и, согласно (4)-(8) выполняется 
=-1/Т, sR=0. И, соответственно, применяя (7.59)-(7.60), имеем
(7.64)
(7.65)
То есть подтверждается вывод о том, что введение опциона put в сборку снижает ее доходность по сравнению с доходностью подлежащего актива, но одновременно и снижает волатильность. Такая операция дает сборке дополнительные шансы на то, чтобы поучаствовать в формировании эффективной границы портфельного облака.
Корреляция подлежащего актива и опциона call
Выражение для корреляции этих двух инструментов, с учетом (7.19) и (7.20):
, (7.66)
что очень похоже на (7.55). Повторение всех перечисленных выше математических рассуждений дает выражение для коэффициента корреляции
, (7.67)
где K = Pr{ST < xc}.
Опцион call и подлежащий актив, естественно, обладают положительно коррелированными доходностями. Это означает, что с введением опциона в сборку повышается доходность этой сборки – одновременно с повышением ее риска.
Рассмотрим два важных предельных частных случая.
1. Когда опцион call в сборке с подлежащим активом со стопроцентной вероятностью попадает в деньги. Тогда К=0, r = 1, а также достигается предел (7.21). Обозначим среднеожидаемую доходность сборки за , а СКО сборки за sА. Тогда по общим правилам портфельного инвестирования выполняется (7.59)-(7.60), где
(7.68)
веса компонент в сборке.
Применение (7.59)-(7.60) и (7.68) в нашем случае дает:
, (7.69)
|
|
|
(7.70)
2. Когда опцион call в сборке со стопроцентной вероятностью не попадает в деньги. Тогда К=1, r = 0, и выполняется =-1/Т, sR=0. И, соответственно,
(7.71)
(7.72)
То есть если сочетание подлежащего актива с опционом put влечет снижение волатильности (с одновременным снижением доходности), то сборка подлежащего актива с опционом call дает эффект увеличения доходности (с одновременным ростом риска). Что лучше, каждый инвестор решает для себя сам, в зависимости от того, как он оценивает характер рынка.
Корреляция опционов call и put в комбинации «straddle»
Если даты исполнения указанных опционов и их страйки совпадают, то ясно, что в любой момент времени один из опционов находится в деньгах, а другой – нет. Что это означает с точки зрения корреляции двух опционов, предстоит выяснить.
Как установлено в предыдущих разделах этой главы, текущиая доходность опциона call связанa с тем же для подлежащего актива соотношением:
, (7.73)
где
(7.74)
То же самое для опциона put:
, (7.75)
где
(7.76)
Корреляция двух опционов:
, (7.77)
где 
средние значения доходностей call и put опционов соответственно.
Раскроем (7.77) в интегральной форме:
(7.78)
где jr(rT) – плотность распределения доходности подлежащего актива,
(7.79)
пограничная доходность подлежащего актива, выше которой call опцион оказывается в деньгах,
(7.80)
|
|
|
а К - вероятность того, что опцион call окажется не в деньгах по истечении времени T.
Пример 7.9
Рассмотрим комбинацию «стеллаж» из двух опционов (put и call) ценой по 10$ каждый и страйком xc= xp= 100$. При этом подлежащий актив имеет стартовую цену S0=100$ с ожидаемой доходностью 
= 0 и СКО sr = 40% годовых. Период инвестиций T =0.5 года. Определить корреляцию опционов в комбинации на момент T.
Решение
Согласно расчетам, K=0.5, a=bc=bp= -2, gc= -gp=10, 
= 
=-0.404, sс = sp = 2.335. Окончательно, r=-0.467 – то есть доходность call и put опционов в стеллаже оказывается отрицательной. Этого и следовало ожидать, так как опцион call коррелирован с подлежащим активом положительно, а опцион put – отрицательно, как мы теперь знаем.
Если доходность актива вырастает до = 30% годовых, а СКО при этом падает до 10%, то ясно, что корреляция опционов слабеет. Тогда K=0.002, = 1.0, sс = 0.998, =-2.0, sp = 0.014, и r=-0.077.
Пример 7.10
27 ноября 2000 года состояние рынка опционов на акции IBM представлено на сайте [7.8]. Оценим стохастическую связь опционов в стеллаже на конец апреля 2001 года (T=5/6) при среднеожидаемой доходности этого актива 20% годовых и СКО 30% годовых (по состоянию на апрель 2001 года). Стартовая цена акции – 100$.
Решение
Данные по коэффициенту корреляции сведены в таблицу 7.6
Таблица 7.6
| xc=xp | zc | zp | rcomb | scomb | r |
| 80 | 25.125 | 3.125 | 0.015 | 1.042 | -0.183 |
| 85 | 22.375 | 4.125 | -0.259 | 1.079 | -0.254 |
| 90 | 17.750 | 5.750 | -0.446 | 1.146 | -0.325 |
| 95 | 14.750 | 7.000 | -0.726 | 1.125 | -0.388 |
| 100 | 11.750 | 9.375 | -1.024 | 1.009 | -0.435 |
| 105 | 9.875 | 12.125 | -1.273 | 0.85 | -0.461 |
| 110 | 7.625 | 15.000 | -1.332 | 0.806 | -0.465 |
| 115 | 6.5 | 18.000 | -1.287 | 0.829 | -0.446 |
| 120 | 5.125 | 22.625 | -1.186 | 0.845 | -0.406 |
Из таблицы 7.6 видно, что с ростом страйка стеллажа падает доходность этой комбинации, одновременно с ростом модуля отрицательной корреляции между опционами. Это и понятно, так как, увеличивая страйк на ожидаемо растущем активе, мы снижаем эффективность вложений в call опцион. Мы бы точно также снижали доходность комбинации, если бы на ожидаемо падающем активе двигали страйк влево.
Но если при такой же доходности актива мы увеличиваем оценку СКО до 60% годовых, то в этом случае картина изменится. Она представлена таблицей 7.7.
Таблица 7.7
| xc=xp | zc | zp | rcomb | scomb | r |
| 80 | 25.125 | 3.125 | 0.279 | 1.767 | -0.490 |
| 85 | 22.375 | 4.125 | 0.140 | 1.770 | -0.461 |
| 90 | 17.750 | 5.750 | 0.161 | 1.860 | -0.443 |
| 95 | 14.750 | 7.000 | 0.106 | 1.868 | -0.451 |
| 100 | 11.750 | 9.375 | -0.009 | 1.801 | -0.459 |
| 105 | 9.875 | 12.125 | -0.204 | 1.658 | -0.466 |
| 110 | 7.625 | 15.000 | -0.279 | 1.601 | -0.472 |
| 115 | 6.5 | 18.000 | -0.377 | 1.526 | -0.475 |
| 120 | 5.125 | 22.625 | -0.49 | 1.43 | -0.491 |
В этом случае динамика корреляции носит волнообразный характер: рост, а затем падение. Также волнообразно изменяется и СКО комбинации.
То есть, рассчитывая на серьезный уровень волатильности актива, мы вправе покрывать его стеллажом, полагая, что рывок доходности актива в любую сторону вызовет доход от использования комбинации в связи с закрытием позиции по любому из опционов комбинации. Покрываясь «на две стороны», мы фактически используем эффект существенной отрицательной корреляции опционов стеллажа.
Разумеется, если мы ждем роста актива, то выбираем комбинацию с низкими страйками, а если падения актива – то с высокими страйками. Если же волатильность актива ожидается низкой, то применять стеллаж нецелесообразно: выигрывает здесь тот, кто уступает комбинацию («writer»).
Корреляция опционов put и call в комбинации «strangle»
В связи с тем, что в комбинации «удавка» страйки двух опционов разнесены по цене, возникает вероятность того, что оба опциона оказываются не в деньгах. Применив все рассуждения предыдущего параграфа книги, можем записать:
(7.81)
где
(7.82)
(7.83)
(7.84)
(7.85)
(7.86)
(7.87)
(7.88)
При совпадении страйков обоих опционов комбинации K12 = 0, K2 = 1-K1, x2 = - x1, и мы приходим к случаю «стеллажа», описанного выше, где корреляция опционов описывается соотношением (7.78).
Научившись определять корелляции опционов и подлежащих им активов, мы всерьез можем задуматься о создании нового подхода к оптимизации смешанных портфелей. Подробно это обсуждается в следующей главе работы.
Нечеткая модель оценки характера рынка
Когда мы говорим что-то о характере рынка подлежащего актива, на который мы покупаем опцион, мы по умолчанию предполагаем, что наблюдаемая нами тенденция сохранится вплоть до даты расчетов по опциону, в противном случае все наши оценки рынка теряют смысл.
Все высказывания о рынке актива имеют природу лингвистической переменной, носителем которой является пара чисел: (ожидаемая доходность, ожидаемая волатильность). И тогда можно ввести нечеткие суждения относительно характера рынка следующего вида:
«Бычий» рынок – это рынок с относительно высокой или высокой доходностью актива при умеренной его волатильности.
«Медвежий» рынок – это рынок с отрицательной доходностью актива, сравнительно высокой по модулю, при умеренной волатильности актива.
«Нейтральный» рынок – это рынок с низкой по модулю доходностью при умеренной волатильности актива.
«Волатильный» рынок – это рынок с неумеренной волатильностью.
Условно проведенное разделение рынков показано на рис. 7.5. И самое главное здесь – определить параметры разделительных границ в пространстве «доходность-волатильность», которые, конечно, вплотную зависят от самого актива.
Рис. 7.5. Разделение типов рынков
Для рынков с умеренной волатильностью в качестве носителя для нечеткой лингвистической классификации может служить так называемое отношение Шарпа [7.10], которое есть отношение доходности актива за вычетом безрисковой составляющей к его волатильности. Тогда функция принадлежности для любого терм-значения лингвистической переменной «Качество рынка», определенная на показателе Шарпа, будет иметь трапезоидный вид, по аналогии с тем, как подобная нечеткая классификация проводится в главе 3 этой книги. Сама же классификация является тяжелой обязанностью инвестора в опционы или эксперта, которого нанимает инвестор. Только в отношении к конкретно взятому активу можно сказать, что для него означает «умеренная волатильность» или «высокое значение показателя Шарпа».
Выводы
Мы получили простейшие аналитические соотношения для опционов и комбинаций на их основе, руководствуясь обычными вероятностными схемами. Мы можем существенно расширить список комбинаций, которые поддаются аналитическому описанию, так как нашли метод построения такого рода описаний.
Безо всяких особых математических изысканий, на уровне элементарного здравого смысла видно, что если теоретическая цена опциона и не зависит от ожидаемой доходности подлежащего актива, а определяется, в частности, текущей его ценой, то сама по себе доходность вложений в опцион связана с доходностью подлежащего актива теснейшим образом. Ожидаемое направление рынка, как мы показали на расчетах, прямо сказывается на фактической цене опциона. Если планируется падающий рынок, подрастают цены на put опционы и тем же темпом падают цены на опционы call. Иначе и быть не может, ведь рынок опционов – это рынок ожиданий, как и рынок подлежащих активов, как и фондовый рынок в целом.
Заметим также, что в нашей модели отсутствует ставка безрискового финансирования, присутствующая в классической модели. Это обусловлено тем, что все модельные расчеты мы проводим в номинальных ценах. Если бы было необходимо от номинальных цен перейти к реальным, учтя чистую современную ценность наших инвестиций, тогда было бы необходимо скорректировать номинальные цены по завершении инвестиционного периода на коэффициент дисконтирования, который может быть привязан к безрисковой ставке доходности инвестиций в данной стране, например, в той же Америке, что собственно, и делается в модели Блэка-Шоулза.
На базе изложенных в этой главе результатов может быть построен опционный калькулятор с широкой функциональностью, который будет анализировать не только опционы, но и опционные комбинации, а также сборки опционов с подлежащими активами. Здесь есть несомненная новизна и, как мне представляется, даже товарная привлекательность.
Однако преждевременно говорить о возможности оптимизации смешанных портфелей – таких, которые наряду с обычными активами (акциями, паями взаимных фондов и т.п.) содержат опционы. Для этого необходимо провести некоторые дополнительные теоретические изыскания, связанные с построением результирующих распределений и ковариационной матрицы компонент смешанного портфеля. Подробно эта тема освещается нами в параграфе 8.4 настоящей работы.
Опять же видим существенную неоднородность ценовых случайных процессов, когда постоянные параметры процессов перестают быть таковыми. Посмотрите еще раз на рисунок 7.3 – разве можно «это» моделировать винеровскими процессами? Возьмите полный интеграл от (7.1) – и вы получите процесс с экспоненциальным трендом (7.2), относительно которого способом броуновского движения флуктуирует цена. Монотонность тренда – естественное следствие описания винеровского процесса. Когда же мы видим, что тренд «гуляет» чуть ли не синусоидально, о винеровских процессах речи быть не может.
Поэтому перед честными исследователями рынка возникает диллема: или избегать вероятностей при опционном моделировании – или, ища компромисса, сочетать вероятностные описания с описаниями нечетко-множественными, подобно тому, как это здесь и делается на протяжении всего изложения. Такой компромисс мне представляется наиболее разумным и эффективным способом борьбы с неопределенностью, царящей на рынке ценных бумаг.
